Algebra II (2012 sügis)

10. Afiinse ruumi mõiste (2012 sügis)

NB! See teema on lugemiseks/aru saamiseks, st peate selle arusaamisega läbi lugema ja vajadusel eksamil seda antud teksti abil seletama. Antud materjali saate eksamil kasutada.

Olgu  V  vektorruum üle  R  ja  dim V = 2.  Siis  a  V  jaoks  a = α1 e 1 + α2 e 2 ,  kus { e 1 , e 2 }  on  V  baas. Me saame nii vektorruumi  V  igale elemendile  a =( α1 , α2)  panna üheselt vastavusse tasandi vektori  a =  (siin ja edaspidi tähistame geomeetrilisi vektoreid paksus kirjas või kui algus- ja lõpp-punkti abil, siis nool peal ), kus  A  koordinaadid on  ( α1 , α2)  tähistades  A( α1 , α2)   R 2 . 

Seega iga  a  V  jaoks saab vastavusse panna punkti  A  R 2 , kusjuures kehtivad omadused:
1)	Suvaliste punktide  A, B  R 2  ( B = B( β1 , β2) )  jaoks leidub täpselt üks  c() V  seosega  
c() =( β1 -  α1 ) e 1 + ( β2 - α2 ) e 2 ;
2)	Iga  A   R 2  ja iga  c  V  jaoks leidub täpselt üks  B   R 2,  et  c = c() ;
3)	Suvaliste punktide  A, B, C   R 2  ( C = C( γ1 , γ2 ) )  jaoks leiduvad  c(),  c(),  c() V , et  
c() + c() = c() .

Omaduste selgitused:
1)	Tehke  xy-teljestikus joonis, kuhu kandke punktid  A, B  R 2  ja uurige, mis vastab joonisel elemendile c() V .
2)	Antud on  A( α1 , α2)   R 2  ja  c = γ1 e 1 + γ2 e 2 , siis leiame  B = B( β1 , β2)   R 2 , et  
γ1 e 1 + γ2 e 2 = ( β1 -  α1 ) e 1 + ( β2 - α2 ) e 2  (vt omadus 1)) . Siit saame leida, et  β1 =  α1 + γ1 , β2 =  α2 + γ2     #
3)	Nüüd on antud  A, B, C   R 2 , kusjuures  A = A( α1 , α2),  B = B( β1 , β2) , C = C( γ1 , γ2 ) . Omaduse  1) põhjal saab nende jaoks leida  c() = ( β1 -  α1 ) e 1 + ( β2 - α2 ) e 2 , c() = (γ1 - β1 ) e 1 + (γ2 – β2 ) e 2 , 
c() = (γ1 - α 1 ) e 1 + (γ2 – α 2 ) e 2 .  Siit esimesed kaks liites saamegi väite.   #

Selles kirjelduses vektorruumi  V  punktid on seostatud punktide hulgaga  R 2  (tasandi punktidega). Ülaltoodud skeemi võib teha üldiseks: olgu antud vektorruum  V  ja mingi hulk  P  (mida nimetame punktide hulgaks) .

Def. 1. Paari  (V, P )  nimetatakse afiinseks ruumiks, kui kehtivad aksioomid:
1)	Suvaliste punktide  A, B P  jaoks leidub täpselt üks  c = c() V ;
2)	Iga  A   P   ja iga  c  V  jaoks leidub täpselt üks  B   P,  et  c = c() ;
3)	Suvaliste punktide  A, B, C   P  jaoks leiduvad  c(),  c(),  c() V, et  
c() + c() = c() .

Näide 1. Kui paragrahvi alguses olevat vektorruumi  V  vaadelda tasandi geomeetriliste vektorite (neid tunnete gümnaasiumist või analüütilisest geomeetriast) vektorruumina  V2 , siis saame afiinse ruumi  (V2, R 2 ) , mis on üldise afiinse ruumi (def. 1 mõttes) prototüübiks. Siin siis punktide hulk  P = R 2 .

Näide 2. Olgu antud vektorruum  V  ja võtame punktide hulgaks selle ruumi enda, st  P = V . Korraldame vastavuse
(A, B) → c() = B – A  V , mis on aksioom  1),  sest võrdus  c() = B – A  määrab üheselt  c()  V . Aksioom  2)  kehtib samuti, sest  A   P  ( = V )  ja  C  V  jaoks leidub üks  B = A + C , et  C = B – A . Ka  3)  kehtib, sest vastavuse definitsiooni põhjal  c() = B – A , c() = C – B , c() = C – A , millest saame vajaliku võrduse.

Afiinse ruumi vastavusel on järgmised omadused, mis järelduvad aksioomidest  1) – 3). 
Omadused:
a)	Iga  A   P  korral on  c() = o  V  nullelement;
Tõestus: võtta aksioomis  3)  C = B = A. 
b)	Iga  A, B   P  korral  c() = - c() ;
Tõestus: võtta aksioomis  3)  C = A  ja  arvestada omadust  a).
c)	Kui  A, B   P   ja  c() = o  (on nullelement), siis  A = B.
Tõestus: Aksioom 2) põhjal saame  A   P   ja  o  V  jaoks ühe  B   P  , et  c() = o , aga omaduse a) tõttu saame A   P   ja  o  V  jaoks, et  c() = o  V  . Kuid nüüd nullelemendi ühesuse põhjal A = B.  #

Olgu  dim V = n ,  sel juhul öeldakse, et ka  dim (V, P ) = n . Sel juhul leidub baas  { e 1 ,... e n }  V,  mis tähendab, et iga  a  V  jaoks  a = α1 e 1 +... + αn e n .  Osutub, et ka punktile  A   P   saab vastavusse panna  n  arvu, mida nimetatakse  A   P  koordinaatideks. Teeme nii: fikseerime mingi punkti  O  P  ja aksioomi  1) abil teeme vastavuse  A → c() = α1 e 1 +... + αn e n  ehk teisiti  A →  = ( α1, ..., αn ) . Skalaare  ( α1 , ..., αn  )  nimetatakse  A  P  koordinaatideks ja kirjutatakse  A = A( α1 , ..., αn  ) .

Def. 2. Hulka  { O;  e 1 ,... e n }  nimetatakse afiinse ruumi  (V, P )  reeperiks alguspunktiga  O  P  ja baasivektoritega  { e 1 ,... e n }  V.

Järeldus.  O  P  koordinaatidega on  O( 0 , ..., 0  ),  sest omaduse  a) põhjal  c() = o . 

Olgu  A, B  P  koordinaatidena  A( α1 , ..., αn  ),  B( β1 , ..., βn  ) ,  siis vastavustest  A →  = ( α1, ..., αn ), 
B →  = ( β1 , ..., βn  )  saame aksioomi  3) ja omaduse  b) põhjal, et   =  +  = -  +  = 
( β1 , ..., βn  ) - ( α1, ..., αn ) = ( β1 - α1 , ..., βn - αn ) . Saime koordinaatidena vektori  = ( β1 - α1 , ..., βn - αn ).