Algebra II ülesanded eksamiks 9.01 ja 15.01.2013
Ülesanded
esitatakse oluliste mõistete kohta , need selgitavad teooriast arusaamist. 
Näited, mis võivad esineda eksamipiletites, lahendage need läbi !

1) Olgu  a  vastandelement  - a; tõestada, et  (-1) a = - a. 

2) Tõestada, et konstantsed funktsioonid moodustavad vektoralamruumi kõikide funktsioonide vektorruumis. 

3) Ühikkuup on selline, mille servad pikkustega üks ühik on koordinaattelgedel ja üks tipp on punktis  (1, 1, 1). Moodustage servadest 3 vektorit, mis oleksid lineaarselt sõltuvad. Millistest servadest saab moodustada baasi ruumis  R 3 ? 

4) Veenduda, et iga  (a, b)  R 2  jaoks  (a, b) = a (1, 0) + b (- 1, 0) + b (1, 1) . Selgitada, kas see on esitus baasi abil. Milline neist kolmest esituses olevast vektorist võib ära jätta, et ülejäänutest tekiks baas? Esitage  (a, b)  saadud baasi abil. 

5) Selgitada, et punktis  x 0  diferentseeruvad funktsioonid moodustavad vektorruumi, tähistame seda  D 0 . Näidata, et  φ : D 0  → R  kujul  φ (f ) = f ' (x 0 )  on lineaarvorm. 

6) Kas  φ : D 0 × D 0  → R   kujul  φ(f, g ) = f ' (x 0 ) g(x 0 )  on bilineaarvorm? On see sümmeetriline? Kas selle abil saab defineerida skalaarkorrutist? 

7)  Olgu  x = (x 1, x 2 ),  y = (y 1, y 2 )  jaoks defineeritud bilineaarvorm  φ(x, y )= w 1 x 1 y 1 + w 2 x 2 y 2  (w 1, w 2 > 0). Veenduda, et selle abil saab defineerida skalaarkorrutist? Millist seost peavad rahuldama  w 1, w 2 ,  et  vektorid  
u = (1, 1)  ja  v = (-1, 2)  oleksid risti ? Näidake, et juhul  w 1 = 2 w 2  kehtib  || v || = 2 1/2 || u ||. 

8) Näidata, et ei leidu skalaarkorrutist, mille jaoks saaks kehtiks võrratus  | <x, y> | >  (|| x || 2 + || y || 2 ) / 2. 

9) Antud on baas  {e 1 , e 2 , e 3 },  kusjuures  e 1   e 2 . Leida kordajad  c 1 , c 2  ,  et  e ‘3  = e 3 + c 1 e 1 + c 2 e 2   moodustaks ortogonaalse süsteemi  {e 1 , e 2 , e ‘3 }. 

10) Eukleidilises ruumis on ortonormaalne baas  {u 1 , u 2 },  kusjuures  x = x 1 u 1 + x 2 u 2  . Näidata, et vektorruumi ühikringjoonele  || x || = 1  vastab  x 1 x 2 – teljestikus ühikringjoon  x 12 + x 22 = 1. 

11) Näidata, et eukleidilises ruumis  || x + y || 2  = || x || 2 + || y || 2  (Pythagorase teoreem) parajasti siis, kui  x  y . 

12) Näidata, et  Q  (vt alla) on ortogonaalne ja leida Q – 1. 

13) Olgu  P  ortogonaalmaatriks. Näidata, et siis  A = P D P – 1  (D on diagonaalmaatriks) on sümmeetriline. 

14) Näidata, et kui  A  diagonaliseerimisega tekib ühikmaatriks, siis ka  A  ise on ühikmaatriks.

15) Olgu maatriksi  A  (vt alla) elemendid  a, b  täisarvud. Näidata, et siis  A  omaväärtused on täisarvud. 

16) Näidake, et maatriksi  A  (vt alla) determinant võrdub selle omaväärtuste korrutisega.
Q =  ,       A =