Info nr 2, 16. sept
MLM7205	Lineaaralgebra rakendused   6.0 EAP 	Sügis 2014

NB ! 23. sept. konsultatsioon kl 14:15 – 16:00 ruumis A 544, edasi kl 16 mat. osakonnas.

Teema: maatriksi kolm (neli) alamruumi 

Vt [T] Tammeraid, I. (1999) Lineaaralgebra rakendused. Tallinn: TTÜ kirjastus, punkt 1.2.4

Tähtsad definitsioonid: 2.4.1, 2.4.2, 2.4.4

Tuleb korrata  span Z def-i 1.2.4, otsesumma def-i 1.2.2 ja alamruumide ortogonaalsuse def-i 1.6.2

Et antud teema oleks arusaadavam, kasutasime me konsultatsioonis õpikut 

[AR]	Anton, H., Rorres, Ch. (2000). Elementary linear algebra : applications version. NYC, Wiley

NB! Selle 10.-s väljaanne on allalaetav internetist, vt autorite järgi google´ist.

Vt 10.-st väljaandest

4.7 Row Space, Column Space, and Null Space

ja sealt teoreemid 4.7.1, 4.7.2, 4.7.3, 4.7.4.

Teor. 4.7.4 järgi on oluline märkus, et ridade elementaarteisendused võivad muuta veeruvektorite alamruumi  R(A).

Edasi tähtis praktiline teoreem 4.7.5:

Olgu maatriks  A  viidud Gaussi meetodiga (NB! Elementaarteisendused ainult ridadega ) nn treppkujule (vt järgmist näidet). Siis:
1)	reavektorid mittenull-juhtelementidega moodustavad  R(AT) baasi;
2)	veeruvektorid mittenull-juhtelementidega reavektoris moodustavad  R(A) baasi.

EXAMPLE 5 Bases for Row and Column Spaces
Maatriks 

A =         

on treppkujul (kui eraldate alumised nullid, siis tekib „trepp“, mille nurkadel on arvud 1).

Teoreemist 4.7.5 saate, et reavektorid

r 1 = (1  -2  5  0  3),  r 2 = (0  1  3  0  0),  r 3 = (0  0  0  1  0)  

moodustavad  R(AT) baasi (s.t  R(AT)  igat elementi saab toodud baasielementide kaudu avaldada), millest järeldub, et  dim R(AT) = 3.

Analoogiliselt, teoreemist 4.7.5 saate, et veeruvektorid

c 1 = (1  0  0  0 ) T,  c 2 = (-2  1  0  0 ) T,   c 3 = (0  0  1  0 ) T

moodustavad  R(A) baasi, millest järeldub, et  dim R(A) = 3.

Nullruumi  N(A)  leidmiseks tuleb lahendada võrrand  Ax = o . Antud maatriks on juba treppkujul, seega saab üldlahendi kohe välja kirjutada ja  N(A)  baasiks on vektorid (tõestada !)

e 1 = (-3  0  0  0  1) T,  e 2 = (-11  -3  1  0  0 ) T ,

seega  dim N(A) = 2.

Saadud andmete põhjal saab illustreerida [T], Lausete 2.4.1,  2.4.2 kehtivust. Tehke seda !
Eriti kontrollige, et  N(A)  ja  R(AT)  on ortogonaalsed alamruumid. Selleks piisab näidata (vt [T], lause 1.6.3, võrdused 3. ja 4.), et nende alamruumide kõik baasivektorid on paarikaupa risti.

Kodus

NB! Kõikide ülesannete lahendustes teha täpsed viited raamatu [T] vajalikele väidetele !

Ül. 2.4.3 b), c). Vihje: eelmine näide või [T], Näide 2.4.1 on eeskujuks. 

Edu!
AK