Info nr 5, 28. okt
MLM7205	Lineaaralgebra rakendused   6.0 EAP 	Sügis 2014

Teema: 1.2.7. Maatriksi normid ja konditsiooniarvud 

Vt [T] Tammeraid, I. (1999) Lineaaralgebra rakendused. Tallinn: TTÜ kirjastus, punkt 1.2.7, lk 68 - 76

Tähtis on Def 2.7.1

Normi traditsiooniline tähis on  || A || , sellel peavad olema täidetud def. 2.7.1 tingimused (normi aksioomid).

Normi mõiste on absoluutväärtuse üldistus, sest abs-väärtus rahuldab neid aksioome.

Vektori  x = ( x 1 , ... , x n ) pikkus, tähistame || x || 2 = ( | x 1| 2 + ... + | x n| 2  ) ½  ,  on vektori norm, vt [Tammeraid], lk 17 – 18.  Siin normi teise omaduse tõestamine on mittetriviaalne, see baseerub Minkowski võrratusel, vt [Tam], lk l7, lause 1.5.2.

Kui vektori norm  || x ||    on määratud, see ei pea kindlasti olema  || x || p  , siis maatriksi norm on määratud valemiga (23), kus  ||  || p   on asendatud normiga  ||  || 

Veenduge, et ühikmaatriksi jaoks  || I || = 1 ja nullmaatriksi jaoks  || O || = 0 .

Konditsiooniarvu, vt def. 2.7.2, mõiste on seotud võrrandisüsteemide lahendamisega.

Olgu  x , y  R n  (või  C n) ,  x  o  ja nende vektorite väikesed hälbed  x , y  R n   (siin ei ole  -ga korrutamine, vaid  x , y  on vektorid ) . Vaatleme võrrandeid  A x = y ,  A x = y , kus  A  on regulaarne maatriks. Siis saab tõestada (katsetage !) , et 

,              (*)
 
kus  k (A)  on  A  konditsiooniarv.  

Selle võrratuse selgitus on: 
kui teete vektorite (elementide)  x , y  R n   väikesed muutused (hälbed)  
x , y  R n  , siis maatriksiga  A  teisendamisel  suhtelised vead    on seotud konditsiooni arvuga toodud võrratusega (*).

Kodus: Ül. 1. Olgu A =   . 1) Kontrollige, et  A    ja  A 
2) Võtke võrratuses  (*)  x = ,     x + x =   ning näidake, et  k (A)   5 .
Ül. 2.  Olgu A =  .   1) Näidake lause 2.7.5 abil, et  || A || 2  = 2.   2) Sama lause abil leidke  || A -1|| 2   ning arvutage konditsiooniarv.  

Ül. 3 Ül. 2.7.4 a) Arvutada  || A || 2  ,  || A -1|| 2   ning vastav konditsiooniarv.

Edu!
AK