Info nr 9, 2. dets.
MLM7205	Lineaaralgebra rakendused   6.0 EAP 	Sügis 2014

Teema: 2.9. Diferentsvõrrandite ja diferentsiaalvõrrandisüsteemide lahendamine 

Vt [T] Tammeraid, I. (1999) Lineaaralgebra rakendused. Tallinn: TTÜ kirjastus, punkt 2.9.1, lk 192; 2.9.2, lk 199

Selle teema me esitame näidetega.

Diferentsvõrrandis  (vt [T], lk 192, (1) )  on otsitavaks jada  ( F n)  ja võrrand on esitatud otsitava jada liikmete lineaarse kombinatsioonina  (sellist diferentsvõrrandit nimetatakse konstantsete kordajatega olevaks) .

Näide . Kuulus näide on  
F n  = F n – 1 + F n – 2         (F 0 = 0 , F 1 = 1) ,

mis määrab jada  ( 0,  1,  2,  3,  5,  8, ... ) , mille liikmeid nimetatakse Fibonacci arvudeks. Selle võrrandi lahendamine tähendab, et tuleb leida  F n  jaoks üldavaldis.

Uurime seda maatriksalgebra meetoditega. Kerge on kontrollida, et antud diferentsvõrrandit saab esitada maatrikskujul (vrd  [T], lk 193, (3)  ja (4) )

 =         ( n = 2, 3, ...) .
Kui tähistada
A = ,              u n =  ,
siis maatriksvõrrand on kujul  u n + 1 = A u n ,  kus  n = 2, 3, ...  ja  u 2  = ( 1   0 ) . 

Saime iteratsioonivõrrandi (vt eelmine teema) , mille abil saab arvutada  

u 3 = A u 2  ,     u 4 = A u 3 = A (A u 2 ) = A 2 u 2  ,  ... ,     u n+2 = A n u 2 .

Nüüd on probleem  A n  arvutamises, aga selleks meil diagonaliseerimismeetod. Leiame  A  omaväärtused ja neile vastavad omavektorid, millest moodustatakse maatriks  S  (vt [T], lk 57, lause 2.5.8) . Seega saame lahutuse 

A = S D S – 1 ,

kus  D  on omaväärtustest koosnev diagonaalmaatriks. Siit on lihtne arvutada

A n  = S D n S – 1 
ning lõpuks

u n+2 = S D n S – 1  u 2  = S D n S – 1  .
Kui see kõik läbi teha (proovige !), siis saadakse Fibonacci arvude nn Binet ´ valem.

Konstantsete kordajatega lineaarvõrrandite süsteem on kujul

y 1´ = a 11 y 1  + ... + a 1n y n
............................................
............................................
y n´ = a n1 y 1  + ... + a nn y n

ehk sama süsteem funktsionaalmaatriksi (vektori)  y = ( y 1  ... y n  ) T  abil on maatrikskujul

 =  A y .
Funktsionaalmaatriks  y = ( y 1  ... y n  )  tähendab, et selle elemendid on mingil lõigul  [0 , a ]  määratud argumendi t  funktsioonid,  st et  y 1 = y 1 (t) , ... , y n  = y n (t) . 
Et lahend  y = ( y 1  ... y n  ) T oleks üheselt määratud, antakse ette veel algtingimus  y (0) = y 0 ,  kus  y 0  on mingi etteantud vektor  (vt nt  [T], lk 201, näide 9.2.1).

Kasutame jälle diagonaliseerimist , st olgu  A = S D S – 1 . Siis maatriksvõrrand võtab kuju

 =  S D S – 1 y .

Korrutame seda vasakult maatriksiga  S – 1  ning arvestades, et  S – 1  on konstantne maatriks, saame

 =  D S – 1 y .
Nüüd võtame uue otsitava  z = S – 1 y , mistõttu võrrand võtab kuju

 =  D z ,

mida on lihtne lahendada , sest  D  on diagonaalmaatriks. Kui viimane võrrand koordinaatides välja kirjutada, siis saame 

z 1´ =  1 z 1  
....................
.....................
z n´ =  n z n  

Siin iga võrrand määrab eksponentfunktsiooni ning seega otsitav on  z = ( C 1 e  1 t , ... , C n e  n  t ) T . Konstandid 
(C 1 , ... , C n)  määratakse tingimusest  z (0) = (C 1 , ... , C n) = S – 1 y 0 .

Lõpuks algse süsteemi lahend on 

y = S z .

Ülesanne. Proovige, kas see meetod töötab [T], lk 201, näite 9.2.1 korral. 

Edu!
AK