Optimeerimine majanduses 2013 sügis, kt nr 1 kolm kordamisülesannet koos vihjetega

Ülesanded

1. Hinnaga  P  kauba nõudlusfunktsioon  olgu     Q = P –1/a  (a>0 ).  a)  Millise  a  korral on nõudlus väheelastne, ühikelastne või elastne hinna suhtes. b) Näidake, et antud nõudlusfunktsiooni korral tulukuse  R = P Q  marginaal  MR 
( Q suhtes) rahuldab seost  MR = P (1 + 1/ (Q; P ) ) 
2. Olgu nõudlusfunktsioon  D n = 5 – p n2  ja pakkumisfunktsioon  S n + 1 = 1 + 4 p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke “ämblikuvõrgu” analüüsi. 
3. Käsitlege Cournot’ duopoli mudelit juhul  TCi =( c / i ) q i  (i = 1, 2 ). Leidke  q1*,  q2*,  Q*,  P*.  Tehke  q2*  võrdlevat staatikat kulumarginaali  c  suhtes ning sõnastage saadud tulemus.  

Vihjed/vastused

1.	a) Tuleb leida   (Q; P ) = - 1/ a  ja uurida selle absoluutväärtust.  b) R = P Q  marginaal  MR ( Q suhtes) tähendab tuletist  dR / dQ  ja need tulemused vaja kombineerida nõudlusfunktsiooniga  Q = P –1/a .
2.	Tähtis tasakaaluvõrrand on  S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate  p n  (mõelge x-le) ja  p n+1 (mõelge y-le) suhtes. See võrrand määrab “ämblikuvõrgu” analüüsi joonisel joone I-ses veerandis, antud juhul ellipsi (peate tundma ellipsi, parabooli, hüperbooli võrrandeid). Kui diferentsvõrrandis  n -> , siis  p n -> p* (kui see eksisteerib !) ja ka  p n+1 -> p* . Nii saate p* = 0.894…  
3.	Firma  i  kasum on  Π i = TR i - TC i = (a – b (q 1 + q 2)) q i - ( c / i ) q i  (i = 1, 2).  Mõlemal juhul kirjutage eraldi välja. Tuletis  d Π 2 /d q 2 = 0  annab vastumõju võrrandi  (R 2) , antud juhul  q 2 = (a – b q 1 – c / 2 ) / ( 2 b) .Analoogiliselt saate  (R 1) .  Ühise tasakaalukoguse leidmiseks tuleb lahendada süsteem  (R 1) , (R 2) . Ei pea tingimata maatrikseid kasutama. Lihtsaim, kuid vist töömahukaim on asendusmeetod, ka determinandid sobivad hästi. Süsteemi lahendades saate  q 2* =a / (3 b )  ja  
q 1* =(2 a –3 c ) / (6 b ) . Edasi,  Q* = q 1* + q 2*   ,  P* = a - b Q* , kuhu on tehtud vastavad asendused. Kogus  
q 2* =a / (3 b )  on konstant  c  suhtes, seega “kulumarginaali  c  muutmine ei muuda teise firma optimaalset tootmiskogust  q 1* ”.