Arvmeetkodu_2_09   1. Leidke vähimruutude meetodil sirge  y = ax + b,  mis lähendaks lõigul  [-1, 2]  funktsiooni  f(x) = x 2 
(Vast.:  y = x + 1/2)

2. Näidata, et Tšebõševi polünoomide  T 0 , T 1   ja  T 2  abil saame lõigul  [-1, 1] ligikaudse valemi  

(1 – x 2) ½  10 /(3 Pi) – (8 / (3 Pi)) x 2   (vt p. 13 Tšebõševi polünoomidega lähendamisest).

3. Näidata, et  P0(x)=1,  P1(x)=x,  P2(x)= (3x2 - 1)/2  moodustavad ortogonaalse süsteemi lõigul  [-1, 1]  kaalufunktsiooni  w(x) = 1  suhtes. Selgitada ideed  (arvutusi pole vaja !), kuidas saab leida  f(x) = cos Pi x  lähendit  P0,  P1,  P2  abil (eelmise ülesande analoog). 
4. Arvutame    Simpsoni valemiga. Kui suur võib olla  H > 0,  et  8  osalõigu korral viga ei oleks suurem kui  0.001 ?
5. Arvutada    täpselt  (interpreteerige seda pindalana) ja siis ülesande 2 ligikaudse valemi abil ning leidke absoluutne viga.
6. Leida  A,  B,  C,  et    H (A f(0) + B f(C H))  oleks täpne iga ruutpolünoomi korral. Saadud valemi abil arvutage ül. 4 integraal  H = 2  korral.
7. Defineerime funktsioonide maatriksi  Y(x) = ( y(x)   z(x) )  tuletise piirväärtusega  Y´(x) = lim h -> 0 (Y (x + h) – Y (x)) / h .  Näidata, et  Y´(x) = ( y´(x)   z´(x) ) .

8. Leida sammuga  h = 1  RK4 abil  y(2),  kui y´= x + 1/ y,  y(1) = 1.  (Vast.: y (2) = 3.0555…)