21. Greeni valem (MA III, K2015)
George Green (1793 - 1841) oli amatöörmatemaatik, astus Cambridge´i ülik-i alles 40. aastaselt

Greeni valem. Olgu  X  ja  Y  pidevad ja pidevate osatuletistega  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  kinnises (sidusas) piirkonnas D,  mille rajajoon  L  on tükati sile. Siis kehtib valem 
,
kus joonintegraal on võetud üle  L  positiivses suunas, st piirkond jääb vasakule.

Tõestus. Piisab tõestada lihtsa piirkonna  D  jaoks  , mille rajajoon koosneb osadest võrranditega  

L 1 : { x = t,  y = f (t ),  a  t  b };   

L 2 : { x = b - t,  y = c,  0  t  b – a };  c = f (b) ,

L 3 : { x = a,  y = c – t ,  0  t  c – f(a ) }.

See piirkond on kõverjooneline kolmnurk, mille “kõver” külg on  L 1  otspunktidega  (a, f (a ))  ning  (b, c)  (eeldame, et  f  on kasvav ja  f(x )  c) . Külg  L 2   on lõik otspunktidega  (b, c)  ning  (a, c)  ja teine külg  L 3   on lõik otspunktidega  (a, c)  ning  (a, f (a )). Tehke joonis !

Üldine piirkond saab alati tükeldada lihtsateks (jagatakse koordinaattelgedega paralleelsete sirgetega osadeks, siis tekivad ristkülikud või ülal toodud “kolmnurgad”, ristkülikud saab omakorda teha kolmnurkadeks). Kasutades aditiivsust piirkonna järgi saab siis tõestada üldjuhu eeldusel, et “kolmnurkade” jaoks see kehtib.

Arvutame (ülaltoodud joonte parameetriliste võrrandite abil):
.
Viimane integraal = 0, sest d a = 0 d t = 0.  Arvutame muutuja vahetusega  v = b –t  teise integraali. 
Nii saame ( joonintegraal eksisteerib  X  pidevuse tõttu )
[ määratud integraali radade vahetus]
.
Teiselt poolt kahekordse integraali (see eksisteerib osatuletise pidevuse tõttu) arvutamine annab 
.
Kaks eelmist valemit kokku võttes saame 

.

Analoogiliselt saab näidata, et kehtib 

.

Kui need kaks viimast valemit kokku liita, siis saamegi väite. Tõestuse lõpp #

N. Kontrollige Greeni valemi kehtivust arvutustega, kui  D  on ühikring ja  X = Y = 1

22. Joonintegraali (II liiki) sõltumatus integreerimistee kujust (MA III, K2015)

Teoreem 1. Joonintegraal (II liiki) ei sõltu intgreerimistee kujust parajasti siis, kui see üle iga kontuuri (joon, mille alg- ja lõpp-punkt ühtivad ) võrdub nulliga.
 
Teoreem 2. Olgu  X  ja  Y  koos oma osatuletistega  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  pidevad kinnises ühelisidusas piirkonnas  D.  Selleks, et iga lihtsa tükati sileda kontuuri  L  (joon, mille alg- ja lõpp-punkt ühtivad ning mis ei lõika iseennast) korral piirkonnas  D  kehtiks võrdus
                                                             (1)
on tarvilik ja piisav, et piirkonnas  D  kehtiks võrdus
 
.                                                                (2)

Tõestus. Piisavus. Eeldus on, et kehtib (2). Siis Greeni valemist saame

.
Tarvilikkus. Nüüd on eeldus, et kehtib (1) iga lihtsa tükati sileda kontuuri  L  korral piirkonnas  D . Vastuväiteliselt (vrd (2)) eeldame, et piirkonnas  D  leidub punkt  (x 0 , y 0 ),  kus

.
Kuna osatuletised on pidevad, siis leidub ka punkti  (x 0 , y 0 )  ümbrus  D’ (mis on  D  sees) ja arv d > 0 ,  et kehtib (konkreetsuse mõttes on võetud positiivne väärtus, negatiivse korral analoogiliselt)

                                                          (3)

Selgitus: pidevus tähendab, et olukord muutub sujuvalt, mitte järsku. Siin siis, et kui   mingis punktis, siis ka selle punkti lähedal, ümbruses kehtib sama mittevõrdus ja konkreetsuse mõttes võtsime, et kehtib (3).
Integraali monotoonsuse omaduse põhjal võrratusest (3) järeldub (siin  m(D’)  on  D’ pindala)

.
Olgu  D’  rajajoon  L’.  Siis Greeni valemi ja eelduse (1) põhjal (arvestame, et  L’  on piirkonnast  D)  saame

.

Seega tekkis vastuolu  0 > 0 . Vastuolu tekkis vastuväitelisest eeldusest, mis ei saa seega õige olla. Õige peab olema väide (2). #

Teoreemidest 1 ja 2 saame tähtsa järelduse.

Teoreem 3. Olgu  X  ja  Y  koos oma osatuletistega  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  pidevad kinnises ühelisidusas piirkonnas  D. Joonintegraal üle joone alguspunktiga  M  ja lõpp-punktiga  N  kujul

ei sõltu integreerimistee kujust punktide  M  ja  N  vahel parajasti siis, kui piirkonnas  D  kehtib võrdus

.