23. Joonintegraal funktsiooni diferentsiaalist (MA III, K2015)

Kordamiseks: funk-i  z = f (x, y)  diferentsiaal on  dz = ∂ f / ∂x dx + ∂ f / ∂y dy .

Nüüd uurime vastupidist probleemi: 
olgu antud  X  ja  Y , mis koos oma osatuletistega  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  on pidevad kinnises ühelisidusas piirkonnas  D.  Selgitame, millal leidub funktsioon  U , et 

dU = X dx + Y dy                                                     (1)

Teoreem 1. Olgu  X  ja  Y  koos oma osatuletistega  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  pidevad kinnises ühelisidusas piirkonnas  D.  Siis  X dx + Y dy  on mingi funktsiooni  U  diferentsiaaliks (s.t  kehtib (1) ) parajasti siis, kui piirkonnas  D  kehtib
.                                                         (2)

Tõestus. 1)  Kehtigu (1) , siis diferentsiaali mõiste kohaselt (vt Kordamine) kehtib

∂ U / ∂x dx + ∂ U / ∂y dy = X dx + Y dy .

Argumentide diferentsiaalid on arvud. Võtame eelmises võrduses kord  dx = 1 , dy = 0  ja siis  dx = 0 , dy = 1 . Nii saame  ∂ U / ∂x = X  ja  ∂ U / ∂y = Y . Kuna eksisteerivad osatuletised  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x , siis eelmisi võrdusi diferentseerides saame

∂ 2U / ∂x∂y = ∂X/ ∂y ,  ∂ 2U / ∂y∂x  = ∂Y/ ∂x .

Mat. anal. II on teoreem (segaosatuletistest) : kui  ∂ 2U / ∂x∂y,  ∂ 2U / ∂y∂x  on pidevad (aga nii need on, sest eksisteerivad  ∂X/ ∂y,  ∂Y/ ∂x  ja need on eelduse tõttu pidevad) , siis kehtib võrdus

∂ 2U / ∂x∂y = ∂ 2U / ∂y∂x .

Kuid eelmiste võrduste põhjal see annabki väite (2).

2) Kehtigu nüüd (2) ja tahame tõestada, et leidub funktsioon  U , et kehtiks (1) . Konstrueerime otsitava funktsiooni  U . Olgu punktid  M = M(x 0 , y 0 ) , P = P(x , y )  ning vaatleme joonintegraali 

.
Kuna me eeldasime (2) kehtivust, siis teema “Joonintegraali sõltumatus …” teoreem 3 põhjal see joonintegraal ei sõltu integreerimistee kujust, vaid ainult punktidest  M  ja  P . Loeme, et punkt  P  on muutuv, siis joonintegraal defineerib funktsiooni

U(x , y ) =.                                       (3)

Näitame, et selle funktsiooni jaoks kehtibki (1). Selleks on vaja leida  dU , mis on määratud osatuletistega (osatuletis on piirväärtus funktsiooni osamuudu ja argumendi muudu suhtest). Leiame  U  osamuudu, kui argument  x  on muutunud väärtuseni  x + h . Tähistades  Q = Q(x + h , y ) , siis saame (3) põhjal 
(tehke joonis !) osamuuduks
U(x +h, y) - U(x , y)  = - =  .
Kuna lõigul  [P , Q ]  on  y  konstantne ja  x  muutub lõigul  [x , x + h] , siis kehtib

- 1 -
 = + 0 = .

Integraali keskväärtusteoreemi (Mat. an. I) põhjal kehtib (integreerimismuutujaks on nüüd  t )

 =  = X (c , y) h ,  kus  c  on lõigust  [x , x + h] .

Nii saame eelmiste võrduste põhjal, et 
.

Kui eelmises võrduses  h  0 ,  siis  c  x  (sest  c  on lõigust  [x , x + h] ) ning seega osatuletise definitsiooni ja  X  pidevuse põhjal saame 
∂ U / ∂x = X (x, y) .

Analoogiliselt saab näidata, et  ∂ U / ∂y = Y (x, y) . Seega  X, Y  pidevuse põhjal on funktsioonil  U  pidevad osatuletised ning selle diferentsiaal avaldub võrdusega (1). Tõestuse lõpp #

Märkus.  Funktsiooni  U  võrduses (1) nimetatakse vektorvälja  F = (X , Y)  potentsiaaliks ja kirjutatakse  
F = grad U = (∂ U / ∂x , ∂ U / ∂y ) , vt Mat. an. II.

Teoreemil 1 on kasulik järeldus joonintegraali arvutamiseks.

Järeldus.  Teoreem 1 eeldustel funktsioonide  X  ja  Y  kohta leidugu piirkonnas  D  määratud funktsioon 
F(x, y ) , nii et 
dF = X dx + Y dy.                                                    (4)

Siis  D  suvaliste punktide  M = M(x 0 , y 0 ),  N = N(x 1 , y 1 )  korral kehtib Newtoni – Leibnizi valemi üldistus

=  F(x 1 , y 1 ) - F(x 0 , y 0 ) .                     (5)
Tõestus.  Teoreemi 1 tõestuses saime, et kui kehtib (1) , siis kehtib ka (3). Leidugu veel funktsioon F(x, y ) , et kehtib (4). Siis võrdusest (1) lahutades (4) saame  d(U – F ) = 0 , millest järeldub  ∂ (U – F)/ ∂x = 0  ja  
∂ (U –F) / ∂y = 0 . Kuna need võrdused kehtivad kogu piirkonnas  D , siis (vt Mat. an. II) saame  
U –F = C = const.  Seega  U = F + C . Kuna  U  definitsiooni (3) kohaselt juhul  P = M  saame  U (x 0 , y 0) = 0 , siis võrduse U = F + C  põhjal kehtib  C = - F(x 0 , y 0 )  ja siis ka  U(x 1 , y 1 ) = F(x 1 , y 1 ) - F(x 0 , y 0 ).  Viimane võrdus koos võrdusega (3) annabki väite. #

Märkus.  Olgu  L  joon alguspunktiga  M = M(x 0 , y 0 )  ja lõpp-punktiga  N = N(x 1 , y 1 ) . Siis järelduse valem (5) saab potentsiaali  U  abil kirjutada kujul

=  U(x 1 , y 1 ) - U(x 0 , y 0 ).

- 2 -