Kuidas matemaatikud ennustavad ? Nõo Reaalgümnaasiumi loengupäev “Süva 45”, 24. nov. 2009
 Andi Kivinukk 
Tallinna Ülikooli matemaatika osakondTeemad:
• Matemaatika tänapäeva ühiskonnas 
• Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil• Arvandmete tõlgendamine: aegrea muutumise kiirus, diferentsid, diferentssuhted• Arvandmete esitamine funktsioonina, vähimruutude meetodil ennustamineMatemaatika mõju ühiskonnale toimub selle rakenduste kaudu, mis tänapäeval baseeruvad oluliselt arvutitel. 
(Fermat’ suure probleemi A. Wiles’i lahendus on väljapaistev saavutus matemaatikas, kuid antud momendil on selle väärtus ühiskonnale tervikuna küsitav.) 
Näide 1.
CAD autotööstuses (Computer Aided Design, mis kirjeldab matemaatiliste funktsioonidega - need on ruutpolünoomide „kokkuliimitud sugulased” – auto kuju ja see esitatakse kohe ka arvutiekraanil) Eeldab nn mitmeharuliste funktsioonidega (F(x) = f(x), kui a<x<b ja F(x) = g(x), kui b<x<c) tutvumist.GPS (Global Positioning System), mis kasutab asjaolu, et kui meie kaugused kolme satelliidini on teada, siis saame üheselt määrata oma asukoha kolm koordinaati. Tegelikult mittetriviaalne ülesanne, sest satelliidid liiguvad.
Arvutitomograafia (kui kehast lasta läbi röntgenikiir, siis olenevalt keha omadustest see neeldub ning neeldumise mõõtmiseks on vaja need kuidagi kokku liita, mis viib teatud integraalideni)
NB! Integraali tutvustamine pindala ja summade abil on õpetlikum, kui formaalne definitsioonNäide 4
MP3 (iga noor teab, kust poest neid mängijaid osta saab); MP3-süsteemi matemaatiline väljatöötamine algas ca 20 aastat tagasi ja see baseerub täiesti uut tüüpi funktsioonidel, mis on siinuste-koosinuste „sugulased” ja mis võimaldavad hääle digitaalset teisendamist (audio coding) 12-15 korda kiiremini võrreldes varasemate meetoditegaNäide 5
Digipildindus (kõik noored on kasutanud digikaameraid või saatnud JPG formaadis pilte): iga pilt koosneb kahe muutuja funktsiooni väärtustest, milledega tuleb teha „kavalaid” teisendusi, et need väärtused pakkida internetti ja siis meie kodus jälle pildiks lahti pakkida.
NB! Maatriksarvutus on siin tähtis.
Ennustame maailma rahvastiku arvu
•1. Maailma rahvaarvu aegrida (Eesti Entsüklopeedia andmed, pisut ümardatud)
•Aeg t (a.) 1850 1930 1960 1975 1987 1999
•Rahvaarv N (miljardid) 
•                 1        2        3       4       5       6
•Aja diferentsid: 80    30    15     12     12
•Tinglik aeg:  0     80    110   125   137  149Milline funktsioon võiks esitada tabeli andmeid? •See ei saa olla väga konkreetne, selle kujus peaks olema parameeter, mida saaks sobivalt valida. Näiteks
•          N = N(t) =  a t 2 + 1  
• see sobib vähemalt 1850. a, sest  N(0) = 1.  Probleem, kuidas leida  a,  et pakutud funktsioon sobiks kuidagi antud andmetega. 
Muutumise kiirus (tuletis) on võrdeline olemasoleva suurusega • Nii toimub muutumine elusolendite  koloonia suuruses või ka pangaarve seisus. S.t kehtib diferentsiaalvõrrand   N’(t) = a N(t) või ka
• diferentsvõrrand N(t+1) - N(t) = a N(t), t = 0, 1, …  
• Neid võrrandeid rahuldavad eksponentfunktsioonid:  1)  N(t) =  e a t  
2)  N(t) =  (1 + a)  t  , t = 0, 1, … • Kuidas parameetrit a määrata antud tabeli põhjal? Vähimruutude meetodOn antud arvupaarid  (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), … (x n , y n ) ja soovime, et need sobiksid võimalikult hästi valemiga  
y = f(x , a ),
 kus  a  on mingi parameeter. 
Arvupaar (x1 , y1 ) sobib ideaalselt, kui y1 = f(x1 , a).  Kuid kõiki arvupaare ei saa sobima panna, sest toodud võrrand määrab parameetri  a  üheselt ja teiste arvupaaridega tuleksid mingid teised parameetri  a  väärtused. Seepärast nõutakse, et erinevuste ruutude summa (sõltub  a - st) 
( y 1 -  f(x 1 , a))2 +( y 2 -  f(x 2 , a))2 +…+ ( y n -  f(x n , a))2oleks minimaalne (ideaalsel juhul on miinimum 0).Rahvaarv 2009• Kui leida vähimruutude meetodil rahvaarvu mudelis N(t) = e a t  parameeter a, siis saadakse 
N(t ) = e 0.012 t , mis annab 2009. a., s.t 159 aastat peale 1850.a.  N(159) = e 0.012*159 = 6.7, 
• mis langeb kokku Wikipedias antud tulemusega.
Lihtne näide kivi langemise kohtaKukutades Pisa tornist raudkuule alla, leidis G. Galilei, et 1 sekundiga langes kuul 5m, 
2 sekundiga 10m ja 3 sekundiga 40m. 
Oletades, et langemise kõrgus s on ajast t sõltuv valemiga s = a t 2 , leiame vähimruutude meetodil, mitu meetrit langeks kuul 4 sekundiga? 
LahendusErinevuste ruutude summa funktsioon on S(a )=(5 - a ) 2+ (10 - 4a) 2+ (40 - 9a) 2      = 1725 - 810 a + 98a 2.
Selle miinimum (ruutfunktsioon  a  suhtes!) a järgi on juhul 
a = 810/(2* 98) = 4.13, seega langemise seadus on s = 4.13 t 2 ning 4 sekundiga langeb kuul 
s = 4.13*4 2 = 4.13*16= 66m. (Füüsikast on tuntud valem  s = g t 2 /2,  kus  g = 9.8) 
Kokkuvõte• Matemaatika on kasulik
• Matemaatika on huvitav
• Matemaatika on tänapäeval paljude teaduste alus
TULGE ÕPPIGE MATEMAATIKAT, VÄHEMALT NII PALJU, ET SUUDATE OMA ERIALAL TEHA KAASAEGSET TEADUST!