Modelleerimine funktsioonidega ehk kuidas matemaatikud ennustavad 
(lekt Andi Kivinukk, TLÜ Õpilasakadeemia, 04.12.10)
Üldine ülesanne: on antud arvupaarid  (x1, y1),  (x2, y2), … (xn, yn)  ja soovime, et need sobiksid võimalikult hästi funktsiooniga  y = f(x, a),  kus  a  on sobivalt valitud parameeter. Arvupaar  (x1, y1)  sobib ideaalselt, kui  y1 = f(x1, a).  Aga kõikide arvupaaridega sellist sobivust ei pruugi olla, sest eelmine võrdus määrab parameetri  a  üheselt ja teiste arvupaaridega võivad tulla mingid teised parameetri  a  väärtused. Seepärast toimitakse nii, et erinevuste ruutude summa (mis sõltub parameetrist  a )
S(a) = (y1 - f(x1, a))2 + (y2 - f(x2, a))2 + … + (yn - f(xn, a))2,

oleks võimalikult väike. Toodud ideed nimetatakse vähimruutude meetodiks. Kes tunneb tuletist, see teab, et funktsioon  S = S(a)  võib saavutada miinimumi niisuguse  a  väärtuse juures, kus  tuletis  S´(a) = 0.  

N. 1. Olgu õpilase hinded  M1 , M2 , … Mn . Näidata, et vähimruutude meetodil saadud üks ainuke hinne on eelmiste aritmeetiline keskmine.
Lahendus. Tahame leida ühist hinnet  M,  mis oleks vähimruutude mõttes lähim kõikidele antud hinnetele. S.t leiame (siin  a = M  ja  f(x, M)= M ) funktsiooni
S(M) = (M1 - M)2 + (M2 - M)2 + … + (Mn - M)2
miinimumi  M  suhtes. Arvutame

S(M) = M1 2+…+ Mn2 - 2 M1 M … -2 Mn M + M 2+…+ M 2 = M1 2+…+ Mn2 - 2 (M1 +…+ Mn) M +n M 2.
See on ruutkolmliige  M  suhtes ning selle haripunkt on  M = ( M1 +…+ Mn) /n , mis on aritmeetiline keskmine.

2. Maailma rahvaarvu (aga näiteks ka pangaarve) muutumise kohta arvatakse, et selle muutumise kiirus (tuletis) on võrdeline olemasoleva suurusega. Olgu  A 0  panka pandud summa, mis aasta pärast on  A 1 = A 0 + r A 0,  kus  r  on intressimäär. Aastal  t + 1  on see seos kujul  A t + 1 = A t + r A t  ehk teisiti  (A t + 1 - A t ) / 1 = r A t , mis ongi meie väide muutumise kiiruse kohta. Saadud seoseid nimetatakse diferentsvõrranditeks. Kui teha järjest asendamisi, siis saab näidata, et  A t = A 0 (1 + r)t , mida nimetatakse diferentsvõrrandi lahendiks.  Analoogia põhjal arvatakse, et rahvaarvu kohta kehtib diferentsiaalvõrrand N’(t) = a N(t), mille lahendiks on eksponentfunktsioon  N = N(t) = N(0) e a t  . Kuidas parameetrit  a määrata antud tabeli põhjal? 

3. Rahvaarvu mudeli  N(t) = e a t  (siin  N(0)=1 ) parameetrit  a  ei õnnestu eeltoodud viisil leida, sest siin  a  on „mittelineaarses” asendis. Aga antud mudelit saab „lineariseerida ” logaritmimisega, mis annab  M(t) = ln N(t) = a t . Nüüd leiame tuntud meetodil tabelist

Aeg t (aastad)	1850 (t= 0)	1930 (t = 80)	1960 (t = 110)	1975 (t = 125)	1987 (t = 137)	1999 (t = 149)	
Rahvaarvu (miljard-s) logaritm M 	ln 1= 0	ln 2 = 0.69	ln 3 = 1.10	ln 4 = 1.39	ln 5 = 1.61	ln 6 = 1.79	

funktsiooni
S(a) = (0 -  a 0 )2 + (0.69 - a 80 )2 + (1.10 - a 110 )2 + (1.39 -  a 125 )2 + (1.61 - a 137 )2 + (1.79 - a 149 )2,
mille (a  suhtes ruutpolünoomi) miinimumkohaks on  a = 0.011.  Siit saame esialgseks mudeliks  N(t) = e 0.011 t .

3A. (Eksperimentaalne töö – teetassi jahtumine) Oletame, et vahetult pärast keeva vee valamist teetassi on vee temperatuur seal T 0 = 95 (C 0). Siis mõõtke temperatuuri 2 min pärast, olgu see  T 1 ja veel järgmise 2 min pärast, olgu see  T 2 . Osutub, et teevee jahtumise muutus on võrdeline samal ajamomendil mõõdetud vee temperatuuri ja ümbritseva keskkonna temperatuuri vahega (jälle mingi eksponentsiaalne reegel!). Valemiga väljendudes tähendab see, et kehtib diferentsvõrrand 
T n + 1 - T n = T (T n - 20),
kus  T  on mudeli parameeter ja  T n  on temperatuur ajamomendil  n  ning  T n + 1  on temperatuur järgmisel ajamomendil. Siin  20  on keskkonna (toa) temperatuur. 
1)	Mõõdetud andmete põhjal saab vähimruutude meetodil leida parameetri T.
2)	Nüüd saab mudelist arvutada järjest temperatuurid, näiteks 6 min pärast katse algust on temperatuur 
T 3 = T 2 + T (T 2 - 20).
3) Arvutage mudelist temperatuur 10 min pärast katse algust ja võrrelge seda tegeliku näiduga.
4) Kui mudeli tulemused erinevad oluliselt tegelikkusest, tuleks mudelit muuta. Eelkõige kontrollige, mis on vee temperatuur katse algul ja milline on toa temperatuur. Võimalik, et  T  määramiseks oleks vaja teha veel mõõtmisi, võimalik, et mõõtmisi peaks tegema näiteks iga minuti järgi. Muide, mõõtmisel hoidke kraadiklaas kogu katse vältel vees, et mitte lasta sellel vahepeal jahtuda.
5) Kontrollige oma muudetud mudelit tegelike andmetega.