TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA I    (sügis 2007, kaugõpe)  MMA6005
1.	Katsed ja juhuslikud sündmused. Tõenäosus, selle arvutamine variatsioonide, permutatsioonide, kombinatsioonide abil
2.	Tehted sündmustega, sündmuste summa ja korrutise tõenäosus
3.	Sündmuste sõltumatus ja sõltuvus. Tinglik tõenäosus, täistõenäosuse ja Bayesi valem
4.	Diskreetne juhuslik suurus, selle jaotus 
5.	Bernoulli jaotus ja binoomjaotus
6.	Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon
7.	Geomeetriline tõenäosus ja ühtlane jaotus 
8.	Juhusliku suuruse arvkarakteristikud: keskväärtus, dispersioon. 
9.	Juhuslik vektor, selle jaotus- ja tihedusfunktsioon
10.	Juhuslike suuruste summa ja korrutise keskväärtus ning dispersioon
11.	Juhuslike suuruste korrelatiivne sõltuvus
12.	 Poissoni jaotus, normaaljaotus
13.	Normaaljaotus kui binoomjaotuse piirjaotus
14.	 Suurte arvude seadused 
15.	Juhuslike suuruste jaotusparameetrite punkthinnangud

10. Juhuslike suuruste summa ja korrutise keskväärtus ning dispersioon

Keskväärtuse omadused:
1o
  inf X  EX  sup X  (s.t, et keskväärtus on juh. suuruse vähima ja suurima võimaliku väärtuse vahel)
2o
Kui  X = c (= const), siis  Ec = c  (konstandi keskväärtus on see konstant ise)
3o
E(cX) = cEX   (keskväärtuse arvutamisel saab konstandi ette tuua, vrd. integraali omadusega)
4o
E(X + Y) = EX + EY   (juh. s. summast saab keskväärtused eraldi arvutada, vrd. integraali omadusega)
5o
Kui juh. s.  X  ja  Y  sõltumatud (vt punkt 9, seal sõltumatuse juhul  f X (x, y) = f X (x) f Y (y)),  siis  E(XY) = EX EY  (sõltumatuse juhul korrutise keskväärtus on tegurite keskväärtuste korrutis)

Dispersiooni arvutamiseks on kasulik

Lause.          D(X) = E(X2) – (EX)2

Tõestus.  D(X) = [def ] = E(X – EX)2 = [aritmeetika] = E (X2 – 2(EX)X + (EX)2 ) = [2o, 3o, 4o] 

= E (X2) – 2(EX)EX + (EX)2 = E(X2) – (EX)2     #

Selle lause juurde on kasulikud valemid:

kui  X  diskreetne, siis  E(X2) = k (x k)2 p k ,

kui  X  pidev, siis  E(X2) =  x2 f(x) dx

Dispersiooni omadused:
1o
D(X)  0  ja  D(X) = 0  parajasti siis, kui  X = c (= const) 
2o
Kui  c = const, siis  D(c + X) = D(X)  
3o
D(cX) = c2 D(X)   
4o
Kui juh. s.  X  ja  Y  sõltumatud, siis  D(X + Y) = D(X) + D(Y)   

Standardhälbe omadused:
1o
S(X)  0  ja  S(X) = 0  parajasti siis, kui  X = c (= const) 
2o
Kui  c = const, siis  S(c + X) = S(X)  
3o
Kui  a  ja  b  konstandid, siis  S(a + bX) =|b| S(X)

Märkus. Keskväärtuse ja dispersiooni omadused 4o kehtivad ka enama arvu liidetavate korral

Olgu  X1, … ,X n  paarikaupa sõltumatud juh. s. ja defineerime nende aritmeetilise keskmise  X = (X1 +… + X n)/ n.  Olgu 

veel  EXi =   ja  D(Xi) = 2   iga  i = 1, … , n  korral. Siis eelneva märkuse põhjal saame

E X = EXi =    ja  D(X) = D(Xi) / n = 2 / n.

Viimane võrdus ütleb, et kui  X1, … ,X n  paarikaupa sõltumatud juh. s. omades kõik ühte ja sama keskväärtust ning dispersiooni, siis nende aritmeetilise keskmise keskväärtus jääb samaks, aga dispersioon väheneb  n  korda.

11.	 Juhuslike suuruste korrelatiivne sõltuvus

Juh. vektori  X = (X, Y)  komponentide sõltuvuse määra iseloomustab kovariatsioon.

Def. 1. Juh. suuruste  X, Y  kovariatsiooniks nim. suurust cov(X, Y) = E((X – EX) (Y - EY)).  #

Seega, kui  X, Y  diskreetsed ja antud nende jaotustabel, siis 

cov(X, Y) = i, j  p i j (xi -EX) (yj -EY).

Kui  X, Y  pidevad, siis

cov(X, Y) = (x - EX) (y - EY) f X (x, y) dx dy

Lause.  cov(X, Y) = E(X Y)– EX EY.  

Kovariatsiooni omadused:

O.1  cov(X, X) = D(X)

O.2  Kui  X  ja  Y  sõltumatud, siis  cov(X, Y) = 0 (järeldub Lausest ja EX omadusest 5)

O.3  Olgu  a, b, c, d  konstandid, siis cov(a + bX, c + dY) = bd cov(X, Y)

Järeldus. cov(X, -X) = -D(X)

Def. 2.  Kui  cov(X, Y)  0,  siis nim.  X, Y  korreleeruvateks,  kui  cov(X, Y) = 0,  siis nim. mittekorreleeruvateks. Kui  

cov(X, Y) > 0,  siis nim.  positiivselt korreleeruvateks  aga juhul  cov(X, Y) < 0  nim. negatiivselt korreleeruvateks  

Märkus.  cov(X, Y) = 0  ei tähenda, et  X, Y  sõltumatud  (vrd. O.2)

Cauchy-Bunjakovski võrratus.   Kui  D(X),  D(Y) > 0,   siis  |cov(X, Y) |2  D(X) D(Y)

Siit hea idee järgnevaks.

Def. 3  Juh. suuruste  X, Y  korrelatsioonikordajaks  nim. suurust  r(X, Y) = cov(X, Y) / (D(X) D(Y))1/2 

Korrelatsioonikordaja omadused:

O.1  |r(X, Y)|  1  ja  r(X, X) = 1  ning  r(X, -X) = -1

O.2  Kui  a,  b  0  konstandid, siis  r(X, a + bX) = |b| / b

Tähtis järeldus.  
O.2  järeldub, et  |r(X, a + bX)| = 1,  mis  O. 1 põhjal on maksimaalne võimalik väärtus. Siit järeldub edasi, et  X  ja  Y  on 

maksimaalses positiivses korrelatsioonis, kui  Y = a + bX  parameetri b > 0  korral, sest siis 

r(X, a + bX) = 1,  kui  b > 0.  Analoogiliselt saab, et  X  ja  Y  on maksimaalses negatiivses korrelatsioonis, kui  Y = a + bX  parameetri b < 0  korral. 

12.	 Poissoni jaotus

Def.  Diskreetne juh. s.  X  väärtustega  0, 1, 2, …  on Poissoni jaotusega parameetriga  ,  kirjutatakse  X   (),  kui  

tõenäosus  P(X = k) = e - k / k!     (siin  e = 2.718…  ja k! = 1*2*3* … * k  on  faktoriaal).

Saab näidata, et see on tõesti jaotus, s.t  k  P(X = k) = 1 ning 

EX = D(X) = .

Poissoni jaotust kasutatakse nn harvaesinevate sündmuste (nt. liiklusõnnetuste arv Tln-Tartu maanteel või nt rämpskirjade arv e-kirjakastis teatud ajaperioodil) puhul. Sellised sündmused ilmnevad a) sõltumatult üksteisest, b) üksikult (nende arvu saab loendada) ajas või ruumis, c) sagedusega, mis on võrdeline aja või ruumi mõõtmega (nt pikemal ajaperioodil on võrdeliselt rohkem rämpskirju).

Poissoni piirteoreem. Olgu juh. s. jada  Xn  B (n, pn), s.t  Xn  binoomjaotusega. Kui  n pn  ,  siis  Xn  läheneb Poissoni jaotusele parameetriga  .  Teisiti, kui  n  suur  ja  pn  väike  (muidu võimatu, et  n pn  ),  siis binoomjaotusega jada  Xn  läheneb Poissoni jaotusega juhuslikule suurusele.  #

Poissoni piirteoreem annab võimaluse suure katsete arvu ja väikese tõenäosuse korral kasutada binoomjaotuse asemel Poissoni jaotust (vt edasi näide 2).

12’ Normaaljaotus

Juh. s. X on normaaljaotusega, kui selle enamik väärtusi on keskväärtuse läheduses. Näiteks toodetud detaili mõõtmed, mingi mõõtmise vead (nt õpilaste hinded kindlas aines) jms. korduvatel katsetel saadud tulemused.

Def. Juh. s. X on normaaljaotusega parameetritega    ja  ,  kirjutatakse  X  N (, ),  kui selle tihedusfunktsioon 

f X (x) =  exp (- ).                                                                                                                     (n)

Arvutused osa 8. Juhusliku suuruse arvkarakteristikud: keskväärtus, dispersioon põhjal näitavad, et siin parameetritel on järgmine tähendus:

EX =   ja  D(X) = 2

Iga juhusliku suurusega on huvitav teada tõenäosust  P(a < X < b)  e. sõnadega, teada tõenäosust, et juhuslik suurus  X  omandaks väärtusi arvude  a  ja  b  vahelt  (nt et detaili mõõtmed on 10 mm  ja  12 mm  vahel või eksamihinded on  3  ja  5  vahel jne)
Kui on teada  X  tihedusfunktsioon  f  , siis seda probleemi aitab lahendada valem (vt 6. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon)

P(a < X < b) = 

Võrdusega  (n)  määratud funktsioon on tehniliselt keeruline ja pole võimalik otseselt eelmist integraali arvutada. Seepärast on võetud kasutusele funktsioon (vahel nimetatakse seda Laplace’i  funktsiooniks)  

(x) =        (siin tähendab exp (- t2/2), et eksponentfunktsiooni  ex  astmes on  - t2/2 ),  

mille väärtused on võimalik leida tabelist (alati vaadata tabeli selgitust, kas on ikka sama funktsioon, sest kirjanduses on liikvel ka teisi tabeleid). Arvutustes on tähtis silmas pidada, et  (x)  on järgmiste omadustega:
1)	(- x) = - (x),
2)	kui  x > 5,  siis (x)  0.50000

Funktsiooni    abil saame tähtsa tulemuse: kui  X on normaaljaotusega parameetritega    ja  ,  kirjutatakse  
X  N (, ), siis

P(a < X < b) = ( ) - ( )

13.	 Normaaljaotus kui binoomjaotuse piirjaotus

Tehakse  n  sõltumatut katset, kus igal katsel võib toimuda mingi sündmus  A  tõenäosusega  p,  s.t  P(A) = p.  Olgu  Yn  juhuslik suurus, mis loendab  A  esinemiste arvu kirjeldatud katseseerias. Sellisel juhul öeldakse, et  Yn  on binoomjaotusega ja kirjutatakse  Yn  B(n, p)  (vt 5. Bernoulli jaotus ja binoomjaotus). On teada (vt osa 5), et  n  katsel sündmuse  A  esinemiseks  k  korral on tõenäosus

P(Yn = k) = pk (1-p)n-k,

mis on aga väga keeruline valem suurte  n  väärtuste korral. Osutub, et  n  suurte väärtuste korral  (praktikas võetakse, et olgu  np(1 - p) > 10)  kehtib

Moivre-Laplace’i piirteoreem  Kui  Yn  B(n, p)  ja  n  on suur (praktikas  np(1 - p) > 10  ), siis

P(a < Yn < b)  () - ()  

Märkus  Vt osa 12’ ja arvesta, et  E Yn = np  ning  D(Yn) = np(1-p).

14.	´ Tähtsad näited

N. 1.  Firma toodangust on keskmiselt praaki  1%.  Toodangut müüakse  10-kaupa  karpides ja ostjale tagastatakse raha, kui karbis on vähemalt  1  praaktoode. Keskmiselt mitme  %  karpide eest tagastatakse raha?

Lahendus.  Olgu juhuslik suurus  X,  mis loendab praaktoodete arvu karbis. Iga tootega kaks võimalust – kas on praak või mitte – kusjuures praak on tõenäosusega  0.01.  Seega tegemist binoomjaotusega, kus  n = 10  ja huvitab küsimus, et 
P(X  1 )  (s.t tõenäosus, et karbis on  1  või rohkem praaktoodet). Vastandsündmuse mõiste kohaselt (vt 2. Tehted sündmustega, sündmuste summa ja korrutise tõenäosus) ning kasutades Bernoulli valemit saame

P(X  1 ) = 1 - P(X < 1 ) = 1 - P(X = 0 ) = 1 - 0.010 (1-0.01)10-0 = 1 - 0.9910 = 0.10

Seega  10%  karpides on  1  või rohkem praaktoodet.

N. 2. Tarbijale saadeti 500 head asja. Asi võib transportimisel rikneda tõenäosusega  0.002.  Milline tõenäosus, et tarbija saab  3  riknenud asja?

Lahendus. Siin tegelikult Bernoulli skeem, sest iga asjaga kaks võimalust – rikneb tõenäosusega  0.002, ei rikne järelikult tõenäosusega  0.998. Bernoulli valemit keeruline kasutada, sest  n = 500. Juhul, kui tõenäosus väike (praegu  0.002), kasutatakse lähendamiseks Poissoni jaotust (vt 12. Poissoni jaotus). Kuna siin  np(1 - p) = 500*0.002*0.998 < 10,  siis normaaljaotust ei saagi kasutada!
Olgu juhuslik suurus  X,  mis loendab riknenud asjade arvu. Siis Poisssoni jaotuse kasutamiseks on vaja arvutada   = np = 500*0.002 = 1  ja seega Poissoni valemi põhjal

P(X = 3) = e -1 13 / 3! = 1/ (6 e)  0.06

N. 3. Teatud piirkonnas on keskmiselt  5.2  orkaani aastas. Milline tõenäosus, et antud aastal on seal mitte rohkem kui 3 orkaani? 

Lahendus. Orkaane on suhteliselt harva. Seetõttu võib lugeda, et juh. suurus  X,  mis loendab orkaanide arvu, on Poissoni jaotusega. Orkaanide keskmine arv tähendab keskväärtust  EX =  = 5.2  (vt osa 12). Niisiis arvutame

P(X  3 ) = P(X = 0 ) + … + P(X = 3 ) = e –5.2 5.20 / 0! + … + e –5.2 5.23 / 3! = 0.237

N. 4. Linnakese elanikest  52%  eelistab mittesuitsetamist. Leida tõenäosus, et küsitletud 101-st elanikust vähem kui pooled eelistavad mittesuitsetamist. 

Lahendus. Siin tegelikult jälle Bernoulli skeem, sest iga küsitletud elanikuga kaks võimalust – ta eelistab mittesuitsetamist tõenäosusega  p = 0.52  ja ei eelista mittesuitsetamist tõenäosusega  1- p = 0.48. Katsete arv on  n = 101 ja seega np(1 - p) = 101*0.52*0.48 = 25.2 > 10  ning on sobiv kasutada normaaljaotust. Loendagu juhuslik suurus  X  mittesuitsetamist eelistajate arvu  101 küsitletu hulgas. Vähem kui pooled tähendab, et X  50  ja seega vaja arvutada (vt osa 13) 

P(0 < X  50 ) = () - () = (- 2.52 /5.02) - (- 52.52 /5.02) = - (0.502) + (10.46) = [tabelist] = - 0.19146 + 0.50000 = 0.30854  0.31.

N. 5. Kasarmu uste keskmine kõrgus on  1.83 m. Arstipunkti andmetel on sõdurite keskmine pikkus  1.73 m, mis on mõõdetud standardhälbega  0.064 m. Leida sõdurite %, kes ei mahu kummardamata uksest läbi?

Lahendus. Mõõtku juhuslik suurus  X  konkreetse sõduri pikkust, mis on normaaljaotusega (sest pikkus on teatud normaalse keskväärtuse ümber ning kääbuseid ja hiiglasi on vähe). Võime lugeda, et läbi ei mahu siis, kui X > 1.83. Seega vaja arvutada (vt osa 12’) 

P(1.83 <X< ) = ( ) - ( ) = 0.50000 - (1.56) = 0.50000 – 0.44062 = 0.05938

ja seega mingi 6% ei mahu hästi uksest läbi.

15.	Juhuslike suuruste jaotusparameetrite punkthinnangud

Oletame, et meil on kavatsus uurida Pirita metsa täiskasvanud männipuude jämedust. Kõikide mändide arv (seda nimetatakse matemaatilises statistikas üldkogumiks) on suur ja neid kõiki pole võimalik mõõta. Praktikas tehakse nii, et valitakse teatud hulk (statistikas nimetatakse üldkogumi alamhulka valimiks) puid erinevatest kasvukohtadest, mõõdetakse nende jämedust ja siis nende andmete põhjal otsustatakse kogu metsa kohta. 

Matemaatiline statistika on teadus, mis tõenäosusteooria meetoditega teeb valimi andmete põhjal järeldusi üldkogumi kohta.

Saame mõelda, et üldkogum on juhuslik suurus  X  (nt kõikide mändide jämedus) ja valimi väärtused  x1, x2, … xn   on ka juhuslikud suurused (sest teatud mändide valimisse sattumine on juhuslik ja iga konkreetse puu jämedus on juhuslik arv, mida ette ei tea). Mõistlik oletada, et nii  X  kui ka valimi elemendid  x1, x2, … xn  on kõik ühe ja sama jaotusega (meie näite korral kõik on männid ja on normaaljaotusega, sest jämedus on teatud keskväärtuse ümber ja ekstra jämedaid ning väga peeneid puid on vähe).

Üldkogumi  X  kui juhusliku suuruse kaks tähtsat parameetrit on keskväärtus  EX  ning dispersioon  D(X). Matemaatilises statistikas põhjendatakse, et keskväärtuse

EX  nn punkthinnang valimi  x1, x2, … xn  põhjal on

 = x k

ning dispersiooni  D(X)  (nihutamata) punkthinnang on
s2 = (x k - )2                                      (D)
Neid hinnanguid on lihtne leida ka kalkulaatoriga. Kalkulaatoril on kuskil režiim STAT (mõnel juhul vaja kasutada nuppu 2nd). Kui STAT leitud, siis valimi andmed sisestatakse klahviga DATA (vt M+ klahvi). Iga uue andme sisestamisel näitab tabloo, mitmes arv see oli. Kui andmed on sees, siis vajutada klahvile  ,  mis annab keskväärtuse hinnangu. Standardhälbe hinnangu saate järgmise vajutusega klahvile  s. 

Näide. Valimi andmed olgu kaugõppe üliõpilaste (2004/05 õ-a) tõenäosusteooria esimese kodutöö hinded,
mis olid  14, 11, 14, 10, 10, 12, 12.  
Kodutöö hinne on juhuslik suurus (arvatavasti ka normaaljaotusega, sest enamik üliõpilasi on keskmiste tulemustega ja vähesed on üliandekad või vähevõimekad ) ning selle keskväärtuse  EX  hinnanguks on aritmeetiline keskmine. Kalkulaatoriga saame (kontrollige)

 = 11.857            ja    s = 1.676,  millest dispersiooni hinnang on  s2 = 1.6762 = 2.810

Selgituseks ütleme, et kodutöö keskmine hinne 2004/05 õ-a oli  11.857  (maksimaalne võimalik oli 15) ning mõistlik kõrvalekalle oli  1.676  ehk siis mõistlik hinne on piirides  11.857 – 1.676,  11.857 + 1.676  ehk  10.181,  13.533. No jaa nii oligi – s.t oleme olnud “mõistlikud”. Kui tahan teada, kui “mõistlikud ” oleme järgmisel õppeaastal, siis teen analoogilised arvutused ning võrdlen käesoleva õppeaasta tulemustega.

Esitasime lihtsaima matemaatilise statistika probleemi, mida võiks teada iga haritud inimene.

Olgu üldkogumi kui juhusliku suuruse  X  valimi väärtused  x1, x2, … xn  ja  Y  valimi väärtused vastavalt y1, y2, … yn . Siis kovariatsiooni (vt selle definitsiooni) (nihketa) punkthinnanguks on
k XY = (x k - ) (y k - ),                                      (K)
kus    ja    on keskväärtuste punkthinnangud. Kui tähistame  s x2,  s y2  vastavalt juh. suuruste  X,  Y  dispersioonide punkthinnanguid (vt valem (D)), siis korrelatsioonikordaja punkthinnanguks on

r XY = k XY / (s x s y  ).                                                                     (R)

Näide. Olgu õpilase matemaatikahinded  X = (3, 4, 5, 4)  ja füüsikahinded  Y = (4, 5, 5, 4), siis kalkulaatoriga saame   = 4  ja  s x = 0.816.  Analoogiliselt   = 4.5  ja  s y = 0.577.  Seega valemite  (K)  (n = 4)  ja  (R)  põhjal saame

k XY = ( (3 - 4) ( 4 – 4.5) + ( 4 - 4) (5 – 4.5 ) + ( 5 – 4 ) ( 5 – 4.5 ) + ( 4 – 4 ) (4 – 4.5) ) = 0.333,   r XY = 0.707.  
Viimane tulemus näitab, et hinded on suhteliselt heas positiivses korrelatsioonis (0.707 on suhteliselt lähedal kordaja  r XY  maksimaalsele väärtusele  1,  mis näitab perfektset positiivset korrelatsiooni).