Prob_ko-07-nait2.  
1.	Taskus on üks ühekroonine münt, üks 50-sendine ja kolm 20-sendist.  X – juhuslik suurus, mille väärtused on kahe mündi võtmisel saadud sentide summad. 1) Leida  X  jaotustabel. 2) Arvutada  EX,  D(X),  S(X)  ja  P(X > 70).

Komment.  Olgu meie mündid kõik reas:  100,  50,  20,  20,  20.  Siit kohe näha, et  X  võimalikud väärtused on  150  (ühel juhul), 120 (kolmel juhul, seega  P(X = 120) = 3 / 10,  sest 5-st elemendist saab paare teha 10-l viisil),  70  (ka kolmel juhul) ning  40 (ka kolmel juhul). Nii saate jaotustabeli, kus ülemises reas on vastavad väärtused  40,  70,  120,  150  ja nende all vastavad tõenäosused (120  all on 3 / 10). Vast.  EX = 84,  S(X) = (1464) 1/ 2 = 38.3

2.	Münti visatakse seni, kuni tuleb „kull”, kuid mitte rohkem kui 3 korda. X – loendab visete arvu (näiteks, kui  X = 3,  siis tuli „kull” viimasel katsel või ei tulnud üldse). 1) Näidata, et  X  jaotustabel on:  P(X = 1) = 1 / 2  (s.t  esimesel viskel tuleb „kull”, mille tõenäosus on ju 1/2 ),  P(X = 2) = P(X = 3) = ¼.  2) Arvutada  EX,  D(X),  S(X)  ja  P(X > 1).

Komment. Kui  X = 2,  s.t „kull” tuli 2-l katsel ja esimesel tuli „kiri” ja kuna „kirja” tõen. ½,  „kullil” ½  ning need peavad toimuma korraga (sõltumatute sündmuste korrutis!), seega  P(X = 2) = 1/ 2 * 1/ 2 = 1/ 4.

3.	Juhusliku suuruse  X  tihedusfunktsioon on  f(x) = k(1 – x),  kui  0 < x < 1  ja  f(x) = 0  teiste argumentide korral. 1) Leidke konstant  k  (tihedusfunktsiooni  f  põhiomadus on, et integraal sellest peab olema üks), 2) tehke  f  graafik, 3) leidke  E(X), 4) näidake, et  D(X) = 1/18 ja  5) arvutage  P( X > EX).
4.	Täringut veeretatakse  5  korda. Leida tõenäosus, et 1) ei tule ühtegi kuut; 2) tuleb vähemalt üks kuus; 3) tuleb mitte rohkem, kui  4  kuut.

Komment.: Siia sobib juhuslik suurus  X,  mis loendab kuute arvu 5-l viskel. Igal viskel kuus tuleb või ei tule, seega  X ~ B(5, 1/6). Küsimus 2) on: P(X ≥ 1 ) = ?. Kui küsitakse „vähemalt”, siis tehniliselt on lihtsam lahendada, kui kasutada eitust. Praegu siis P(X ≥ 1 ) = 1 - P(X < 1 ). Küsimus 3) on: P(X ≤ 4 ) = ? See ka lihtsam eituse abil ehk siis  P(X ≤ 4 ) = 1 - P(X > 4 ) = 1 – (P(X = 5 ) + P(X = 6 ) ). Vast. P(X ≤ 4 ) = 0.9999.

5.	Teatud jõevees on keskmiselt 500 bakterit liitri kohta. Laboratooriumis uuriti  1 cm 3  vett. Milline on tõenäosus, et 1) seal ei ole ühtegi bakterit? 2) seal on vähemalt  4  bakterit?

Komment. Bakterite arv  X  vees allub Poissoni jaotusele, sest neid esineb üksikult (diskreetne juhuslik suurus), sõltumatult üksteisest ja suhteliselt harva. Kui liitris on  500 bakterit, siis  1 cm 3  sisaldab keskmiselt  500/ 1000 = 0.5  bakterit ja sõna „keskmiselt” vihjab, et  EX = λ = 0.5.  Küsimus 2) on: P(X ≥ 4 ) = ? Teisiti, P(X ≥ 4 ) = 1 - P(X < 4 ) = 1 – ( P(X = 3 ) + P(X = 2 ) + P(X = 1 ) + P(X = 0 ) ).

6.	Puksiirtrossi tõmbetugevus on keskmiselt  6 - tonnise lasti vedamiseks. Võime oletada, et tõmbetugevus allub normaaljaotusele, s.t et vähesed trossid kannatavad oluliselt väiksemaid koormuseid või oluliselt suuremaid koormuseid. Katsetega tehti kindlaks, et tavaline kõrvalekalle (matemaatiliselt standardhälve) keskmisest tõmbetugevusest vastab lasti kõrvalekaldele 150 kg . Milline on tõenäosus, et seda liiki tross kannatab vedada lasti üle 6.2 tonni? 

Komment. X – juhuslik suurus, mis mõõdab veetavat lasti kg-des. Seega  EX = 6000 kg  ja  S(X) = 150  ning  X ~ N (6000, 150). Vaja leida P(X > 6200), milleks olemas valem konspekti punktis 12’. Vast. 0.091

7.	Ühe teatud ravimi suhtes on inimene allergiline tõenäosusega  0.005. Haiguspuhangu ajal anti seda ravimit 4000-le haigele. Milline tõenäosus, et nende hulgas vähem kui 10 allergilist?

Komment. Allergiliste arv  X  allub tegelikult binoomjaotusele, sest iga inimesega 2 võimalust – on või ei ole allergiline. Aga kuna  n = 4000 on suur ja  n p = 20  ning  n p (1 - p) = 19.9 > 10 (vt konspekt p. 13), siis võime kasutada normaaljaotust. Arvutamine tabelite abil annab 
P (0 < X < 10) = 0.0125. Mõnedes käsitlustes tehakse siin järgmiselt. Kuna  X  on diskreetne suurus ja vähem kui 10 tähendab, et  X ≤ 9, siis pideva suuruse (normaaljaotuse) jaoks võetakse  P (0 < X < 9.5) = 0.0094. Nagu näete, suurt praktilist vahet siin ei ole.

8. Sõltumatute katsete seerias võib igal katsel toimuda mingi sündmus A (näiteks õuna tabamine puu otsast) tõenäosusega  p.  X  loendagu katsete arvu, mis on vajalik A toimumiseks esimest korda. Kui  (X = k),  siis see tähendab, et  k – 1  korda toimus A vastandsündmus  A’  ja viimasel katsel toimus A (k – 1 korda visati õunast mööda ja siis tabati). Seega korrutamisteoreemi põhjal  P(X = k) = (1 - p) k – 1 p  
(k = 1, 2, ...). a) Näidake geomeetrilise jada summa valemi põhjal, et toodud valem määrab jaotuse (X  nimetatakse geomeetrilise jaotusega olevaks), s.t vaja näidata, et  P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = k) + ... = 1.  b) Tõestage (Poissoni jaotuse eeskujul),  EX = 1/ p  ja  
D(X) = 1/ p 2 – 1/ p. (Kasutada geomeetrilise rea diferentseerimist  (1 / (1 - q))’ = (1 + q + q 2 + ...)’ = 1 + 2q + 3 q 2 + ...).

9. Juhusliku vektori  X = (X, Y)  tihedusfunktsioon  f X (x, y) = c (x + y),  kui  0 < x, y < 1  ja  f X (x, y) = 0  mujal. a)  Näidata, et  c = 1. b ) Tõestada arvutamistega, et  P(X + Y < 1) = E (X Y)  ( P(X + Y < 1)  leidmiseks on vaja arvutada kahekordne integraal üle ruudu 
[0, 1] * [0, 1]  osa, kus  x + y < 1).

10.  X  väärtusteks olgu juhuslikult valitud arv hulgast {1, 2}. Kui  X  valitud, siis  Y  väärtuseks on arv samast hulgast tingimusel  Y ≥ X  (Näiteks, kui  X = 1,  siis P(X = 1) = 1/ 2  ja nüüd  Y  võimalikeks väärtusteks on  1  või  2  ja korrutamisteoreemi põhjal P(X = 1, Y = 1) = 1/ 4  ning  P(X = 1, Y = 2) = 1/ 4.  Kui aga  X = 2,  siis kindlasti vaja  Y = 2  ja seega  P(X = 2, Y = 2) = 1/ 2 (see tegelikult nüüd tinglik tõenäosus) ). Leida  r (X, Y) ja määrata, kas tegemist negatiivse või positiivse korrelatiivse sõltuvusega. (Kontrolliks: EY = 7/ 4)