a

b

x

β-α

Millal  \; on \; nurk  \; β-α \; maksimaalne?

A

B

Maksimaalse vaatenurga ülesanne

\text{Pilt ripub seinal nii, et selle ülemine äär on} \; b  \;\text{meetrit kõrgemal vaatleja}\
\text{silmadest, alumine äär on aga}\; a \;  \text{meetrit kõrgemal vaatleja silmadest.} \
\text{Kui kaugele seinast peab seisma vaatleja, et vaatenurk oleks maksimaalne?}

\text{Olgu} \;  x \;  \text{vaatleja kaugus seinast. Pildi ülemist äärt näeb vaatleja nurga β all}\
\text{oma silmadest kõrgemal, alumist äärt aga nurga α all oma silmadest kõrgemal,}\

\text{Meid huvitab, millal on nurk }\;γ=β-α \; \text{maksimaalne?} 

\tan\beta=\frac{b}{x}

\text{Et vahemikus [0; 90°[ tangens kasvab siis, kui nurk suureneb, siis seal,\kus β - α  on maksimaalne, on maksimaalne ka  tan(β - α).

\tan\alpha=\frac{a}{x}

\tan\left(β-α   \right) =\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta·\tan\alpha}=\frac{\frac{b}{x}-\frac{a}{x}}{1+\frac{b}{x}·\frac{a}{x}}=\left( b-a  \right)\frac{x}{x^2+ab}. 

Tuletisega lahendus

\text{Et }(b-a) \;  \text{on positiivne konstant, siis peame maksimiseerima ainult seda funktsioooni, mis avaldises sellele tegurile järgneb. Saame:}

\left(\frac{x}{x^2+ab}   \right)' =\frac{ab-x^2}{\left(x^2+ab\right)^2}.

\text{Kui }x =\sqrt{ab}, \;  \text{siis tuletis on 0. Kui }0<x<\sqrt{ab},\text{ siis tuletis on positiivne; siis tuletis on positiivne; kui }x>\sqrt{ab},\text{ siis tuletis on negatiivne. 

\text{Otsitaval funktsioonil kohal } x=\sqrt{ab} \; \text{maksimum ja vaatenurk on maksimaalne, kui }x=\sqrt{ab}

\fbox{x=\sqrt{ab}}

Regiomontanuse lahendus:

\text{Avaldise }\frac{x}{x^2+ab} \; \text{maksimumi asemel võime leida selle avaldise pöördavaldise}\frac{x^2+ab}{x}\; \text{miinimumi}. 

\text{Viimase avaldise saame esitada nii :}  \; \frac{x^2+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{\frac{ab}{x}}  \right)^2 +2\sqrt{ab}.

\text{Saadud tulemus on minimaalne siis, kui viimase sulgudes oleva avaldise väärtus on 0. Seega } x=\sqrt{ab}.

p: y = 1
A = (5.7, 0.9827134483969426)
B = (5.7, 2.9827134483969426)
u = Vector(A, B)
C: (6.4, 1)
D: (6.4, 5.5)
v = Vector(C, D)
F = (5, 1)
G = (5, 3)
H: (5, 5.5)
X = Point(p)
f = Segment(X, F)
g = Segment(F, G)
h = Segment(G, H)
i = Segment(X, G)
j = Segment(X, H)
w = Vector(B, A)
a = Vector(D, C)
α = Angle(F, X, G)
β = Angle(F, X, H)
γ = Angle(G, X, H)
n = 1 (slider from 1 to 19, step 1)