A(0;a)

B(d;-b)

C(x;0)

\sqrt{a^2+x^2}

\sqrt{\left(d-x \right)^2+b^2}

x

d-x

O(0; 0)

a

b

T(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}{v_2}

T'(x)=\frac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{d-x}{v_2\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}=0

\shadowbox{\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}

Valguse murdumise seadus ja selle analoogid

\text{Vaatleme kahte keskkonda, milles liikumise kiirused on erinevad. Näiteks vesi}\ 
\text{ja maapind, näiteks soo ja heinamaa, õhk ja vesi. Liikuda võib keha, aga}\ 
\text{liikuda võib ka näiteks valguskiir.} 

\text{Olgu ülevalpool } x\text{–telge heinamaa, allpool } x\text{–telge soo. Matkaja asub heinamaal}\ 
\text{punktis }A(0; a).\text{ Matkaja eesmärk on jõuda heinamaal olevast punktist }A\text{ soos}\ 
\text{olevasse punkti }B(d, -b)\text{ lühima ajaga.}

\text{Otsime heinamaa ja soo piiril olevat punkti }C(x; 0)\text{ nii, et teekonna }
\AC + CB\text{ läbimiseks kuluv aeg oleks vähim.

\text{Kasutades valemit }t=\frac{s}{v}\text{ saame}\ 
\text{aja esitada funktsioonina } T(x):

\text{Leiame selle funktsiooni tule-}\
\text{tise ja võrdsustame nulliga:}\

\text{Siit saame:}

\frac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{v_2\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}

\text{Et }\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sin\alpha\;\text{ja }\frac{d-x}{\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}=\sin\beta,

\text{ siis }\frac{\sin\alpha}{v_1}=\frac{\sin\beta}{v_2}.

\fbox{\text{Kahes keskkonnas liikumise kiiruste suhe võrdub}\
\text{langemisnurga ja murdumisnurga siinuste suhtega.}}

\text{Matkaja liikumiskiirus heinamaal on }v_1  \text{ m/s, soos aga }v_2\text{ m/s.}

\text{Lahendades üldkujul võrrandi }\frac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{v_2\sqrt{(d-x)^2+b^2}}

\text{saame viie parameetriga }(a, b, d, v_1\text{ ja }v_2)\text{ neljanda astme}\ 
\text{võrrandi, millega jäävad hätta ka arvutialgebra paketid.}

a = 3 (slider from 0 to 6, step 0.1)
A: (0, a)
d = 12 (slider from 0 to 12)
b = 4 (slider from 0 to 8, step 0.1)
B: (d, (-b))
f: y = 0
C = Point(xAxis)
g = Segment(A, C)
h = Segment(C, B)
v_1 = 2 (slider from 0 to 6, step 0.1)
v_2 = 1 (slider from 0 to 6, step 0.1)
eq1: x = 0
D = Point(xAxis)
E = Point(xAxis)
u = Vector(D, E)
F = Point(yAxis)
G = Point(yAxis)
v = Vector(F, G)
O: (0, 0)
B_x: (12, 0)
C_4: (x(C), -4)
C_3: (x(C), 3)
i = Segment(C_4, C_3)
j = Segment(A, C_3)
k = Segment(C_4, B)
α = Angle(C_3, C, A)
β = Angle(C_4, C, B)
H = Point(v)
n = 1 (slider from 1 to 21, step 1)