A(0;a)

B(d;-b)

C(x;0)

\sqrt{a^2+x^2}

\sqrt{\left(d-x \right)^2+b^2}

x

d-x

O(0; 0)

a

b

R(x)=n_1·\sqrt{a^2+x^2}+n_2·\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}

R'(x)=\frac{n_1\;·x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2\;·  (d-x)}{\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}=0

\shadowbox{\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}

Valguse murdumise seaduse analoogid

\text{Eraldagu }x \text{-telg kahte erinevat keskkonda, milles raudtee rajamise kilomeetri hind}\ 
\text{on konstantne, aga erinev. Keskkonnad võivad olla näiteks kõva pinnas ja soo, tasa-}\
\text{ne maa ja mäed vms. Raudtee ehitaja asub ühes keskkonnas (näiteks tasasel maal)}\
\text{punktis } A(0; a).\text{ Ta peab punktist } A \text{ ehitama raudtee teises keskkonnas (mägedes)}\ 
\text{olevasse punkti }B(d, -b)\text{ nii, et ehituskulud oleksid võimalikult väikesed. Raudtee}\ 
\text{rajamise kulud keskkondades olgu vastvalt }n_1\text{ €/km, ja }n_2\text{ €/km.}

\text{Leiame selle funktsiooni tuletise ja võrdsustame nulliga:}\

\text{Siit saame:  }\frac{n_1\;·x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{n_2\;·(d-x)}{\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}.

\text{Et }\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sin\alpha\;\text{ja }\frac{d-x}{\sqrt{\left(d-x   \right) ^2+b^2}}=\sin\beta,

\text{siis  }n_1\;·\sin\alpha=n_2\;·\sin\beta.

\text{Seega otsime tasase maa ja mägise maa piiril olevat punkti } C(x; 0)\text{ nii, et tee }\
AC + CB\text{ rajamise kulud oleksid minimaalsed. Kulud saab esitada funktsiooniga:}

\text{Täpselt samasuguse valemi saaksime, kui asendaksime}\
\text{valguse murdumisseaduses kiiruste }v_1\text{ ja }v_2\text{ suhte kesk-}\ 
\text{kondade absoluutsete murdumisnäitajate }

n_1=\frac{c}{v_1} \; \text{ ja } n_2=\frac{c}{v_2}\text{  suhtega...}

\text{Valguse murdumisseadust tundsid juba Pärsia füüsik}\ 
\text{ibn Sahl (984),Thomas Harriot (1602), Willebrord}\ 
\text{Snellius (1621) ja Rene Descartes (1637).}

a = 3 (slider from 0 to 6, step 0.1)
A: (0, a)
d = 12 (slider from 0 to 12)
b = 4 (slider from 0 to 8, step 0.1)
B: (d, (-b))
f: y = 0
C = Point(xAxis)
g = Segment(A, C)
h = Segment(C, B)
v_1 = 2 (slider from 0 to 6, step 0.1)
v_2 = 1 (slider from 0 to 6, step 0.1)
eq1: x = 0
D = Point(xAxis)
E = Point(xAxis)
u = Vector(D, E)
F = Point(yAxis)
G = Point(yAxis)
v = Vector(F, G)
O: (0, 0)
B_x: (12, 0)
C_4: (x(C), -4)
C_3: (x(C), 3)
i = Segment(C_4, C_3)
j = Segment(A, C_3)
k = Segment(C_4, B)
α = Angle(C_3, C, A)
β = Angle(C_4, C, B)
H = Point(v)
n = 1 (slider from 1 to 13, step 1)