Ekstreemumülesannete lahendamine mitmel erineval viisil

Tõnu Tõnso, Tallinna Ülikool, rakendusmatemaatika lektor

Lühima teekonna ülesanne

\text{Kauboi on koos hobusega punktis } A(0; a). \text{ Ta peab hobust jões } y=0  \text{ jootma  ja} \
\text{minema hobusega laagrisse, mis asub punktis } B(d; b). \text{ Olgu } a, \; b  \text{ ja } d \text{ positiivsed;} \
\text{me võime vaadelda neid kui kaugusi. Kauboil  tuleb leida jõe kaldal punkt } C(x; 0) \ 
\text{nii, et teekond } \;AC + CB \; \text{ oleks võimalikult lühike.} 

\sqrt{\left(d-x   \right)^2+b^2 }

\sqrt{a^2+x^2}

D\left( x  \right) =\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{\left( d-x  \right)^2 +b^2}

D'\left( x  \right) =\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{d-x}{\sqrt{\left( d-x  \right)^2 +b^2}}

\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{d-x}{\sqrt{\left( d-x  \right)^2 +b^2}}=0 \; ⇒ \; \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{\sqrt{\left( d-x  \right)^2 +b^2}}

x\sqrt{\left( d-x  \right)^2 +b^2}=\left( d-x  \right)\sqrt{a^2+x^2} 

x^2\left(\left( d-x  \right)^2+b^2    \right)=\left( d-x  \right)^2\left( a^2+x^2  \right)   

\left( a^2-b^2  \right)x^2-2a^2d \; x+a^2d^2=0 

x_1=\frac{ad}{a+b} \;  \; ning \;  \; x_2=\frac{ad}{a-b}

\fbox{x=\frac{ad}{a+b}.}

Kui\;\; a<b, \; siis \;\frac{ad}{a-b}<0. \; \;  Kui \;  aga  \; a>b,  \; siis\; \frac{ad}{a-b}>d. 

Ruutvõrrandi  \;  lahendid  \;  peavad  \;  olema  \;  sellised,  \;  et \;   \; 0≤x≤d.

n = 1 (slider from 1 to 14, step 1)
A = (-1.266, 5)
B = (7.134, 5)