Tagaakna kojamees

Auto tagumisel aknal kõrgusega  h ja laiusega  b on kojamees.  Kojamehe klaasipuhastaja pikkus on  r, kojamehe varre pikkus on L.  Kojamees pöörleb nurga  α võrra ümber kinnituspunkti, klaasipuhastaja on kinnitatud varre külge nurga  β  all. Eesmärgiks on võrrelda erinevaid kojamehi ja anda hinnanguid selle kohta, missugused peaksid olema kojamehe mõõtmed, pöördenurk jms olulised parameetrid.

Olukorda kirjeldav joonis:

Parameetrid:

(* akna laius b (cm) *)
(* akna kõrgus h (cm) *)
(* akna pindala S = b h ((cm^2)) *)
(* klaasipuhastaja kummi pikkus r (cm) *)
(* klaasipuhastaja varre pikkus L (cm) *)
(* pöördenurk α (Degree) *)
(* nurk varre ja kojamehe vahel β (Degree) *)
(* kinnituspunkti kaugus akna altservast d (cm) *)
(* kinnituspunkti kaugus akna vertikaalteljest x (cm) *)
(* kojamehe poolt puhastatava ala pindala A ((cm^2)) *)

Mudelit lihtsustavad tingimused:

(* akna kuju loeme ristkülikuks *)
(* kinnituspunkti loeme akna allservas asuvaks d = 0 *)
(* pöördenurk olgu sümmeetriline vertikaaltelje suhtes, seega kojamehe vars liikugu ümber vertikaaltelje nurga ±(α/2) võrra *)

Lihtsustatud mudelit kirjeldav joonis:

Kui sektori raadius on  a  ja  nurk on  γ,  siis sektori pindala saab arvutada valemi S = (1/2)(a^2)γ  abil.
Leida tuleb joonisel kujutatud viirutatud kujundi APP'A' pindala, mida tähistame A-ga.

Piirkonda APR klaasipuhastaja ei puhasta.Selle piirkonna pindala on võrdne piirkonna A'P'R' pindalaga.
Seega võrdub kujundi APP'A' pindala kujundi ARR'A' pindalaga. Viimase kujundi pindala on aga esitatav kahe sektori vahena:

A = (1/2)(O(P^2)) α - (1/2)(O(A^2)) α.

Lõigu OP pikkuse saame määrata kolmnurgast OAP koosinusteoreemi abil:

(OP^2)=(L^2)+(r^2)+2L r cos(β).

Asendades OA = L  ja  lihtsustades avaldist saame:

A:=((α/2))r(r+2L Cos[β])

Saadud tulemuse puhul peab arvestama veel teatavate piiravate tingimustega. Akna mõõtmed on ju piiratud, kojamees peab kogu oma ulatuses akna peale jääma. Vaatleme piirjuhtumit, kus kojamehe ülemine ots ulatub akna alumise servani:

Kolmnurgast OA'P' saame siinusteoreemi põhjal, et  (r/(sin(χ)))=(L/(sin(β-χ))).

Kasutades seost χ=(π/2)-(α/(2 ))  ning viies nurgad üle(α/2)peale, saame

tan((α/2))=((L+r cos(β))/(r sin(β))).

Pooltangens:=((L+r Cos[β])/(r Sin[β]))

Viimane valem annab piirid nurga α jaoks, kui suurused L, r  ja β on antud.

Kojamehe ülemine ots ei tohi ulatuda ei üle akna parema ääre ega üle akna ülemise serva. 
Need tingimused saab trigonomeetriliselt esitada järgmisel kujul:

x+L Sin[(α/2)]+r Cos[(π/2)-(α/2)+β]≤(b/2)

ja

L Cos[(α/2)]+r Sin[(π/2)-(α/2)+β]-d≤(h/2)

Vauxhall Vectra juhtum:

b=100; h=80; r=45;L=30; α=90 Degree; β=35 Degree; x= 20;

Puhastatava ala pindala:

AVectra=N[A]

Puhastatava ala protsentuaalne osakaal akna pindalast:

ProtsVectra=((N[A])/(b*h))*100

Vauxhall Agila juhtum:

b=107; h=45; r=36;L=23; α=135 Degree; β=35 Degree; x= 10;

Puhastatava ala pindala:

AAgila=N[A]

Puhastatava ala protsentuaalne osakaal akna pindalast:

ProtsAgila=((N[A])/(b*h))*100

Kia Pregio juhtum (kojamehe nurk ja x negatiivsed, seega rakendame peegelpilti):

b=127; h=55; r=46;L=18; α=118 Degree; β=42 Degree; x= 11;

Puhastatava ala pindala:

APregio=N[A]

Puhastatava ala protsentuaalne osakaal akna pindalast:

ProtsPregio=((N[A])/(b*h))*100

Nurga optimaalsest suurusest

Pooltangens:=((L+r Cos[β])/(r Sin[β]))

Andmed Vauxhall Vectra jaoks:

b=100; h=80; r=45;L=30; α=90 Degree; β=35 Degree; x= 20;

N[Pooltangens]

2*ArcTan[N[Pooltangens]]*180/Pi

Andmed Vauxhall Agila jaoks:

b=107; h=45; r=36;L=23; α=135 Degree; β=35 Degree; x= 10;

N[Pooltangens]

2*ArcTan[N[Pooltangens]]*180/Pi

Andmed Kia Pregio jaoks:

b=127; h=55; r=46;L=18; α=118 Degree; β=42 Degree; x= 11;

N[Pooltangens]

2*ArcTan[N[Pooltangens]]*180/Pi

Edasised täiustused

Aknad on enamasti trapetsikujulised, seega tuleks arvestada ka sellega. 
Varieerida kojameeste pikkust, varieerida varre pikkust.

Järgmine probleem.

Auto esiaknal on kaks kojameest. Leida kojameeste poolt kaks korda 
kaetud piirkonna pindala. Millal see pindala on vähim?