1.9. FRIEDMAN´I VÕRRANDID

1922. aastal konstrueeris Aleksander Friedman tänapäeva kosmoloogia aluseks oleva teoreetilise mudeli ehk Friedman´i mudeli. Selle tuletamisel lähtutakse Einsteini võrranditest (1.27) ja kosmoloogilisest printsiibist tulenevatest Robertsoni-Walker´i meetrikatest (1.28), (1.29) ja (1.31) :

(1.44)

Indeks  markeerib kolme võimalikku olukorda: positiivse kõverusega, tasase või negatiivse kõverusega Universum. Mudelit kirjeldavad põhivõrrandid leitakse järgmise skeemi kohaselt. Esiteks, lähtudes meetrikast (1.44), arvutatakse Einsteini tensori komponendid   (vt punkti 7). Niimoodi arvutatud Einsteini tensori komponendid sisaldavad tundmatut ajast sõltuvat funktsiooni , mis tuleb leida Einsteini võrranditest. Märgime, et funktsioon  määrab Universumi erinevatel arengu etappidel ruumilise mastaabi.

Teiseks, tuginedes kosmoloogilisele printsiibile, eeldatakse, et energia-impulsstensori komponendid avalduvad meetrika (1.44) korral järgmiselt:

, kui , .

(1.45)

Selles punktis tähistavad suurused  meetrilise tensori diagonaalseid ruumilisi komponente. Suuruste  ja p  füüsikaline tähendus on järgmine:  on aine ja energia tihedus Universumis (energiaühikutes, vastavalt Einsteini seosele ) ja p on rõhk. Arvestades, et Universumis, suures mastaabis on aineosakesteks terved galaktikad, võib praegusel Universumi arenguetapil rõhu p  lugeda võrdseks nulliga. Galaktikate omavahelised põrked toimuvad ülimalt harva. Rõhku tuleb aga arvestada Universumi arengu varajases staadiumis, kus aine ja energia kontsentratsioon oli väga suur.

Asendades kirjeldatud viisil leitud Einsteini tensori  ja energia-impulsstensori  komponendid Einsteini võrranditesse (1.27), saadakse kaks sõltumatut võrrandit (ülejäänud 8 võrrandit on kas samasugused või järelduvad neist kahest):

,

(1.46.a)

.

(1.46.b)

Täpp funktsiooni kohal tähendab praegu ja ka edaspidi aja järgi tuletist, st

.

Võrrandeid (1.46.a ja 1.46.b) nimetatakse Friedman´i võrranditeks. Näeme, et võrrandites on kolm tundmatut funktsiooni, mis sõltuvad ajast:

• mastaabi kordaja ;
• aine-energia tihedus ;
• rõhk .

Meil on vaja veel ühte võrrandit, et saaksime neid funktsioone määrata, milleks on Universumis oleva aine-energia olekuvõrrand. Viimane leitakse füüsikalistest kaalutlustest ja on Universumi arengu erinevatel etappidel erinev. Käesoleval etapil on olekuvõrrandi väga heaks lähenduseks võrrand:

(1.47)

st rõhk puudub. Väga varajases Universumi arengu staadiumis, kus aine ja energia kontsentratsioon oli väga kõrge, võib kasutada ülirelativistliku aine olekuvõrrandit:

(1.48)

Olekuvõrrand (1.48) on samasugune elektromagnetilisel kiirgusel (footonitel). See on ka arusaadav, kui pidada silmas, et ultrarelativistlikul juhul võib jätta kõigi osakeste seisumassi arvestamata - seisumass on tühiselt väike võrreldes relativistliku kineetilise massiga.

Nüüd näitame, kuidas Friedman´i teooriast järeldub Hubble´i seadus ja Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandid. Tuletagem meelde, et Hubble´i seadus oli algselt postuleeritud vaatlustele tuginedes, st ei järeldunud teooriast ja oli aluseks Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandite tuletamisel.

1) Hubble´i seadus.

Vastavalt Robertson-Walker´i meetrikale (1.44) (vt ka punkti 8), on kahe kosmoloogilise objekti (galaktika) vaheline kaugus R  avaldatav kujul

kus   on teise galaktika radiaalne koordinaat, kui esimese galaktika (kus asub vaatleja) on valitud koordinaatide alguspunktiks. Ilmselt on teise galaktika suhteline kiirus v arvutatav järgmiselt:

Seega suhteline kiirus on võrdeline kosmoloogilise objekti radiaalse kaugusega vaatlejast - Hubble´i seadus. Niisiis on Hubble´i konstant H määratud Robertson-Walker´i meetrikas esineva mastaabi teguriga :

(1.49)

2) Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandid.

Siin näitame, et olekuvõrrandi  korral järelduvad Friedman´i võrranditest (1.46.a) ja (1.46.b) Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandid (1.6.a, 1.6.b). Lähtudes Hubble´i konstandi avaldisest (1.49), saame:

Asendades nüüd selle võrduse paremal poolel suuruse   Friedman´i võrrandi (1.46.a) põhjal avaldisega , saamegi ühe otsitavatest võrranditest, nimelt võrrandi (1.6.a):

Teise võrrandi (1.6.b) saamiseks korrutame võrrandi (1.46.a) mõlemaid pooli teguriga   ja diferentseerime aja järgi võrrandit (1.46.b). Tulemus on järgmine:

Lahutades nüüd ülemisest võrdusest alumise võrduse, leiame:

Arvestades Hubble´i konstandi avaldist (1.49), saamegi võrrandi (1.6.b):

.

Kokkuvõte:

Friedman´i võrrandid tulenevad kosmoloogilisest printsiibist ja Einsteini võrranditest. Hubble´i seadus ja Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandid on järeldused Friedman´i mudelitest.